Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26354 / 51218
↖ ↑ ↗
← S 70.645410°
W 35.233154°		 ← 202.44 m → S 70.645410°
W 35.227661°		 →
↑
202.41 m
↓
↑
202.41 m
↓
S 70.647231°
W 35.233154°		 ← 202.43 m →
40 974 m²		 S 70.647231°
W 35.227661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402137756347656 y=0.781532287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402137756347656 × 216)
    floor (0.402137756347656 × 65536)
    floor (26354.5)     		tx = 26354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781532287597656 × 216)
    floor (0.781532287597656 × 65536)
    floor (51218.5)     		ty = 51218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26354 / 51218 ti = "16/26354/51218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26354/51218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26354 ÷ 216
    26354 ÷ 65536     		x = 0.402130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51218 ÷ 216
    51218 ÷ 65536     		y = 0.781524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.19573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61493455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.56304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76887159598007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61493455} λ = -0.61493455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76887159598007))-π/2
    2×atan(0.170525301737652)-π/2
    2×0.168900659726475-π/2
    0.337801319452951-1.57079632675     		φ = -1.23299501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61493455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.233154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23299501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.645410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26354 KachelY 51218 -0.61493455 -1.23299501 -35.233154 -70.645410
    Oben rechts KachelX + 1 26355 KachelY 51218 -0.61483867 -1.23299501 -35.227661 -70.645410
    Unten links KachelX 26354 KachelY + 1 51219 -0.61493455 -1.23302678 -35.233154 -70.647231
    Unten rechts KachelX + 1 26355 KachelY + 1 51219 -0.61483867 -1.23302678 -35.227661 -70.647231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23299501--1.23302678) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dl = 202.406670000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23299501--1.23302678) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dr = 202.406670000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61493455--0.61483867) × cos(-1.23299501) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331413468888624 × 6371000     		do = 202.444407962417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61493455--0.61483867) × cos(-1.23302678) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331383494183271 × 6371000     		du = 202.42609786929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23299501)-sin(-1.23302678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331413468888624-0.331383494183271)×R²
    abs(-0.61483867--0.61493455)×2.9974705353486e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9974705353486e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9974705353486e-05×40589641000000     		ar = 40974.2454370421m²