Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26352 / 51088
↖ ↑ ↗
← S 70.407347°
W 35.244141°		 ← 204.84 m → S 70.407347°
W 35.238647°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
S 70.409189°
W 35.244141°		 ← 204.82 m →
41 954 m²		 S 70.409189°
W 35.238647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402107238769531 y=0.779548645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402107238769531 × 216)
    floor (0.402107238769531 × 65536)
    floor (26352.5)     		tx = 26352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779548645019531 × 216)
    floor (0.779548645019531 × 65536)
    floor (51088.5)     		ty = 51088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26352 / 51088 ti = "16/26352/51088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26352/51088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26352 ÷ 216
    26352 ÷ 65536     		x = 0.402099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51088 ÷ 216
    51088 ÷ 65536     		y = 0.779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402099609375 × 2 - 1) × π
    -0.19580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61512630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.55908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75640800207886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61512630} λ = -0.61512630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75640800207886))-π/2
    2×atan(0.172663959846406)-π/2
    2×0.170978146133982-π/2
    0.341956292267964-1.57079632675     		φ = -1.22884003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61512630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22884003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.407347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26352 KachelY 51088 -0.61512630 -1.22884003 -35.244141 -70.407347
    Oben rechts KachelX + 1 26353 KachelY 51088 -0.61503042 -1.22884003 -35.238647 -70.407347
    Unten links KachelX 26352 KachelY + 1 51089 -0.61512630 -1.22887218 -35.244141 -70.409189
    Unten rechts KachelX + 1 26353 KachelY + 1 51089 -0.61503042 -1.22887218 -35.238647 -70.409189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22884003--1.22887218) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22884003--1.22887218) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61512630--0.61503042) × cos(-1.22884003) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.335330760751424 × 6371000     		do = 204.837291494636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61512630--0.61503042) × cos(-1.22887218) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.335300472048267 × 6371000     		du = 204.818789595485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22884003)-sin(-1.22887218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335330760751424-0.335300472048267)×R²
    abs(-0.61503042--0.61512630)×3.02887031575216e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.02887031575216e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.02887031575216e-05×40589641000000     		ar = 41954.4462024097m²