Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26350 / 24338
↖ ↑ ↗
← S 65.449133°
E109.489746°		 ← 507.57 m → S 65.449133°
E109.500732°		 →
↑
507.58 m
↓
↑
507.58 m
↓
S 65.453698°
E109.489746°		 ← 507.48 m →
257 607 m²		 S 65.453698°
E109.500732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804153442382812 y=0.742752075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804153442382812 × 215)
    floor (0.804153442382812 × 32768)
    floor (26350.5)     		tx = 26350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742752075195312 × 215)
    floor (0.742752075195312 × 32768)
    floor (24338.5)     		ty = 24338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26350 / 24338 ti = "15/26350/24338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26350/24338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26350 ÷ 215
    26350 ÷ 32768     		x = 0.80413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24338 ÷ 215
    24338 ÷ 32768     		y = 0.74273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80413818359375 × 2 - 1) × π
    0.6082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91095657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52516039831171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91095657} λ = 1.91095657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52516039831171))-π/2
    2×atan(0.217586153614406)-π/2
    2×0.214246732466186-π/2
    0.428493464932372-1.57079632675     		φ = -1.14230286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91095657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14230286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.449133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26350 KachelY 24338 1.91095657 -1.14230286 109.489746 -65.449133
    Oben rechts KachelX + 1 26351 KachelY 24338 1.91114831 -1.14230286 109.500732 -65.449133
    Unten links KachelX 26350 KachelY + 1 24339 1.91095657 -1.14238253 109.489746 -65.453698
    Unten rechts KachelX + 1 26351 KachelY + 1 24339 1.91114831 -1.14238253 109.500732 -65.453698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14230286--1.14238253) × R
    7.96699999998651e-05 × 6371000     		dl = 507.577569999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14230286--1.14238253) × R
    7.96699999998651e-05 × 6371000     		dr = 507.577569999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91095657-1.91114831) × cos(-1.14230286) × R
    0.000191739999999996 × 0.415500942789313 × 6371000     		do = 507.565788558353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91095657-1.91114831) × cos(-1.14238253) × R
    0.000191739999999996 × 0.41542847421653 × 6371000     		du = 507.477262722423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14230286)-sin(-1.14238253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415500942789313-0.41542847421653)×R²
    abs(1.91114831-1.91095657)×7.2468572783313e-05×R²
    0.000191739999999996×7.2468572783313e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.2468572783313e-05×40589641000000     		ar = 257606.54284318m²