Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26349 / 51021
↖ ↑ ↗
← S 70.283558°
W 35.260620°		 ← 206.08 m → S 70.283558°
W 35.255127°		 →
↑
206.10 m
↓
↑
206.10 m
↓
S 70.285411°
W 35.260620°		 ← 206.06 m →
42 472 m²		 S 70.285411°
W 35.255127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402061462402344 y=0.778526306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402061462402344 × 216)
    floor (0.402061462402344 × 65536)
    floor (26349.5)     		tx = 26349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778526306152344 × 216)
    floor (0.778526306152344 × 65536)
    floor (51021.5)     		ty = 51021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26349 / 51021 ti = "16/26349/51021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26349/51021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26349 ÷ 216
    26349 ÷ 65536     		x = 0.402053833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51021 ÷ 216
    51021 ÷ 65536     		y = 0.778518676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.195892333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61541392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778518676757812 × 2 - 1) × π
    -0.557037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74998445752977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61541392} λ = -0.61541392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74998445752977))-π/2
    2×atan(0.173776644347777)-π/2
    2×0.172058416722889-π/2
    0.344116833445778-1.57079632675     		φ = -1.22667949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61541392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.260620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22667949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.283558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26349 KachelY 51021 -0.61541392 -1.22667949 -35.260620 -70.283558
    Oben rechts KachelX + 1 26350 KachelY 51021 -0.61531804 -1.22667949 -35.255127 -70.283558
    Unten links KachelX 26349 KachelY + 1 51022 -0.61541392 -1.22671184 -35.260620 -70.285411
    Unten rechts KachelX + 1 26350 KachelY + 1 51022 -0.61531804 -1.22671184 -35.255127 -70.285411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22667949--1.22671184) × R
    3.23500000001253e-05 × 6371000     		dl = 206.101850000798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22667949--1.22671184) × R
    3.23500000001253e-05 × 6371000     		dr = 206.101850000798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61541392--0.61531804) × cos(-1.22667949) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337365422250018 × 6371000     		do = 206.080167482113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61541392--0.61531804) × cos(-1.22671184) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337334968632085 × 6371000     		du = 206.061564844527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22667949)-sin(-1.22671184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337365422250018-0.337334968632085)×R²
    abs(-0.61531804--0.61541392)×3.0453617933468e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0453617933468e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0453617933468e-05×40589641000000     		ar = 42471.5867512665m²