Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26344 / 51192
↖ ↑ ↗
← S 70.598021°
W 35.288086°		 ← 202.92 m → S 70.598021°
W 35.282593°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
S 70.599846°
W 35.288086°		 ← 202.90 m →
41 174 m²		 S 70.599846°
W 35.282593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401985168457031 y=0.781135559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401985168457031 × 216)
    floor (0.401985168457031 × 65536)
    floor (26344.5)     		tx = 26344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781135559082031 × 216)
    floor (0.781135559082031 × 65536)
    floor (51192.5)     		ty = 51192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26344 / 51192 ti = "16/26344/51192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26344/51192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26344 ÷ 216
    26344 ÷ 65536     		x = 0.4019775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51192 ÷ 216
    51192 ÷ 65536     		y = 0.7811279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.196044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61589329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7811279296875 × 2 - 1) × π
    -0.562255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76637887719983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61589329} λ = -0.61589329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76637887719983))-π/2
    2×atan(0.17095090359229)-π/2
    2×0.1693142060792-π/2
    0.3386284121584-1.57079632675     		φ = -1.23216791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61589329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.288086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23216791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.598021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26344 KachelY 51192 -0.61589329 -1.23216791 -35.288086 -70.598021
    Oben rechts KachelX + 1 26345 KachelY 51192 -0.61579741 -1.23216791 -35.282593 -70.598021
    Unten links KachelX 26344 KachelY + 1 51193 -0.61589329 -1.23219976 -35.288086 -70.599846
    Unten rechts KachelX + 1 26345 KachelY + 1 51193 -0.61579741 -1.23219976 -35.282593 -70.599846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23216791--1.23219976) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23216791--1.23219976) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61589329--0.61579741) × cos(-1.23216791) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.33219371239581 × 6371000     		do = 202.921020863777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61589329--0.61579741) × cos(-1.23219976) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.332163670951115 × 6371000     		du = 202.902670002824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23216791)-sin(-1.23219976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33219371239581-0.332163670951115)×R²
    abs(-0.61579741--0.61589329)×3.00414446947617e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.00414446947617e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.00414446947617e-05×40589641000000     		ar = 41174.1310505403m²