Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26340 / 24337
↖ ↑ ↗
← S 65.444567°
E109.379883°		 ← 507.68 m → S 65.444567°
E109.390869°		 →
↑
507.64 m
↓
↑
507.64 m
↓
S 65.449133°
E109.379883°		 ← 507.59 m →
257 697 m²		 S 65.449133°
E109.390869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803848266601562 y=0.742721557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803848266601562 × 215)
    floor (0.803848266601562 × 32768)
    floor (26340.5)     		tx = 26340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742721557617188 × 215)
    floor (0.742721557617188 × 32768)
    floor (24337.5)     		ty = 24337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26340 / 24337 ti = "15/26340/24337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26340/24337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26340 ÷ 215
    26340 ÷ 32768     		x = 0.8038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24337 ÷ 215
    24337 ÷ 32768     		y = 0.742706298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8038330078125 × 2 - 1) × π
    0.607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.90903909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742706298828125 × 2 - 1) × π
    -0.48541259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52496865071323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90903909} λ = 1.90903909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52496865071323))-π/2
    2×atan(0.21762787923709)-π/2
    2×0.214286571594069-π/2
    0.428573143188138-1.57079632675     		φ = -1.14222318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90903909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14222318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.444567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26340 KachelY 24337 1.90903909 -1.14222318 109.379883 -65.444567
    Oben rechts KachelX + 1 26341 KachelY 24337 1.90923084 -1.14222318 109.390869 -65.444567
    Unten links KachelX 26340 KachelY + 1 24338 1.90903909 -1.14230286 109.379883 -65.449133
    Unten rechts KachelX + 1 26341 KachelY + 1 24338 1.90923084 -1.14230286 109.390869 -65.449133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14222318--1.14230286) × R
    7.96800000000264e-05 × 6371000     		dl = 507.641280000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14222318--1.14230286) × R
    7.96800000000264e-05 × 6371000     		dr = 507.641280000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90903909-1.90923084) × cos(-1.14222318) × R
    0.000191749999999935 × 0.41557341782038 × 6371000     		do = 507.680798465854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90903909-1.90923084) × cos(-1.14230286) × R
    0.000191749999999935 × 0.415500942789313 × 6371000     		du = 507.592260123258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14222318)-sin(-1.14230286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41557341782038-0.415500942789313)×R²
    abs(1.90923084-1.90903909)×7.24750310670541e-05×R²
    0.000191749999999935×7.24750310670541e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.24750310670541e-05×40589641000000     		ar = 257697.25764248m²