Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26331 / 51239
↖ ↑ ↗
← S 70.683605°
W 35.359497°		 ← 202.06 m → S 70.683605°
W 35.354004°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
S 70.685422°
W 35.359497°		 ← 202.04 m →
40 819 m²		 S 70.685422°
W 35.354004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401786804199219 y=0.781852722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401786804199219 × 216)
    floor (0.401786804199219 × 65536)
    floor (26331.5)     		tx = 26331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781852722167969 × 216)
    floor (0.781852722167969 × 65536)
    floor (51239.5)     		ty = 51239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26331 / 51239 ti = "16/26331/51239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26331/51239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26331 ÷ 216
    26331 ÷ 65536     		x = 0.401779174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51239 ÷ 216
    51239 ÷ 65536     		y = 0.781845092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.196441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61713965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781845092773438 × 2 - 1) × π
    -0.563690185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77088494576411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61713965} λ = -0.61713965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77088494576411))-π/2
    2×atan(0.170182320045142)-π/2
    2×0.168567350802133-π/2
    0.337134701604266-1.57079632675     		φ = -1.23366163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61713965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.359497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23366163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.683605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26331 KachelY 51239 -0.61713965 -1.23366163 -35.359497 -70.683605
    Oben rechts KachelX + 1 26332 KachelY 51239 -0.61704377 -1.23366163 -35.354004 -70.683605
    Unten links KachelX 26331 KachelY + 1 51240 -0.61713965 -1.23369334 -35.359497 -70.685422
    Unten rechts KachelX + 1 26332 KachelY + 1 51240 -0.61704377 -1.23369334 -35.354004 -70.685422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23366163--1.23369334) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23366163--1.23369334) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61713965--0.61704377) × cos(-1.23366163) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.330784448914963 × 6371000     		do = 202.060170180791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61713965--0.61704377) × cos(-1.23369334) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.330754523820752 × 6371000     		du = 202.041890392703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23366163)-sin(-1.23369334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330784448914963-0.330754523820752)×R²
    abs(-0.61704377--0.61713965)×2.99250942112361e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.99250942112361e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.99250942112361e-05×40589641000000     		ar = 40819.2401871601m²