Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26330 / 51191
↖ ↑ ↗
← S 70.596196°
W 35.364990°		 ← 202.92 m → S 70.596196°
W 35.359497°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
S 70.598021°
W 35.364990°		 ← 202.90 m →
41 174 m²		 S 70.598021°
W 35.359497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401771545410156 y=0.781120300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401771545410156 × 216)
    floor (0.401771545410156 × 65536)
    floor (26330.5)     		tx = 26330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781120300292969 × 216)
    floor (0.781120300292969 × 65536)
    floor (51191.5)     		ty = 51191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26330 / 51191 ti = "16/26330/51191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26330/51191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26330 ÷ 216
    26330 ÷ 65536     		x = 0.401763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51191 ÷ 216
    51191 ÷ 65536     		y = 0.781112670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.19647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61723552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781112670898438 × 2 - 1) × π
    -0.562225341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76628300340059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61723552} λ = -0.61723552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76628300340059))-π/2
    2×atan(0.170967294090598)-π/2
    2×0.169330131135668-π/2
    0.338660262271335-1.57079632675     		φ = -1.23213606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61723552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.364990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23213606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.596196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26330 KachelY 51191 -0.61723552 -1.23213606 -35.364990 -70.596196
    Oben rechts KachelX + 1 26331 KachelY 51191 -0.61713965 -1.23213606 -35.359497 -70.596196
    Unten links KachelX 26330 KachelY + 1 51192 -0.61723552 -1.23216791 -35.364990 -70.598021
    Unten rechts KachelX + 1 26331 KachelY + 1 51192 -0.61713965 -1.23216791 -35.359497 -70.598021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23213606--1.23216791) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23213606--1.23216791) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61723552--0.61713965) × cos(-1.23213606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33222375350352 × 6371000     		do = 202.91820554344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61723552--0.61713965) × cos(-1.23216791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33219371239581 × 6371000     		du = 202.899856802254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23213606)-sin(-1.23216791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33222375350352-0.33219371239581)×R²
    abs(-0.61713965--0.61723552)×3.00411077099882e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00411077099882e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00411077099882e-05×40589641000000     		ar = 41173.5599914369m²