Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26330 / 24356
↖ ↑ ↗
← S 65.531171°
E109.270019°		 ← 506 m → S 65.531171°
E109.281006°		 →
↑
505.92 m
↓
↑
505.92 m
↓
S 65.535721°
E109.270019°		 ← 505.91 m →
255 974 m²		 S 65.535721°
E109.281006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803543090820312 y=0.743301391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803543090820312 × 215)
    floor (0.803543090820312 × 32768)
    floor (26330.5)     		tx = 26330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743301391601562 × 215)
    floor (0.743301391601562 × 32768)
    floor (24356.5)     		ty = 24356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26330 / 24356 ti = "15/26330/24356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26330/24356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26330 ÷ 215
    26330 ÷ 32768     		x = 0.80352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24356 ÷ 215
    24356 ÷ 32768     		y = 0.7432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80352783203125 × 2 - 1) × π
    0.6070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.90712161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.486572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52861185508435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90712161} λ = 1.90712161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52861185508435))-π/2
    2×atan(0.216836458924519)-π/2
    2×0.213530815313131-π/2
    0.427061630626262-1.57079632675     		φ = -1.14373470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90712161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.270019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14373470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.531171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26330 KachelY 24356 1.90712161 -1.14373470 109.270019 -65.531171
    Oben rechts KachelX + 1 26331 KachelY 24356 1.90731336 -1.14373470 109.281006 -65.531171
    Unten links KachelX 26330 KachelY + 1 24357 1.90712161 -1.14381411 109.270019 -65.535721
    Unten rechts KachelX + 1 26331 KachelY + 1 24357 1.90731336 -1.14381411 109.281006 -65.535721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14373470--1.14381411) × R
    7.9410000000113e-05 × 6371000     		dl = 505.92111000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14373470--1.14381411) × R
    7.9410000000113e-05 × 6371000     		dr = 505.92111000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90712161-1.90731336) × cos(-1.14373470) × R
    0.000191750000000157 × 0.414198126031731 × 6371000     		do = 506.000688037224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90712161-1.90731336) × cos(-1.14381411) × R
    0.000191750000000157 × 0.41412584679636 × 6371000     		du = 505.912388886334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14373470)-sin(-1.14381411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414198126031731-0.41412584679636)×R²
    abs(1.90731336-1.90712161)×7.22792353711199e-05×R²
    0.000191750000000157×7.22792353711199e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.22792353711199e-05×40589641000000     		ar = 255974.093685328m²