Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2633 / 1523
↖ ↑ ↗
← N 81.137331°
W122.145996°		 ← 376.43 m → N 81.137331°
W122.124023°		 →
↑
376.53 m
↓
↑
376.53 m
↓
N 81.133945°
W122.145996°		 ← 376.57 m →
141 762 m²		 N 81.133945°
W122.124023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160736083984375 y=0.092987060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160736083984375 × 214)
    floor (0.160736083984375 × 16384)
    floor (2633.5)     		tx = 2633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.092987060546875 × 214)
    floor (0.092987060546875 × 16384)
    floor (1523.5)     		ty = 1523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2633 / 1523 ti = "14/2633/1523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2633/1523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2633 ÷ 214
    2633 ÷ 16384     		x = 0.16070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1523 ÷ 214
    1523 ÷ 16384     		y = 0.09295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.6785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13184980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09295654296875 × 2 - 1) × π
    0.8140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55752946852924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13184980} λ = -2.13184980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55752946852924))-π/2
    2×atan(12.9038984163223)-π/2
    2×1.49345494701329-π/2
    2.98690989402658-1.57079632675     		φ = 1.41611357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13184980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.145996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41611357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.137331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2633 KachelY 1523 -2.13184980 1.41611357 -122.145996 81.137331
    Oben rechts KachelX + 1 2634 KachelY 1523 -2.13146630 1.41611357 -122.124023 81.137331
    Unten links KachelX 2633 KachelY + 1 1524 -2.13184980 1.41605447 -122.145996 81.133945
    Unten rechts KachelX + 1 2634 KachelY + 1 1524 -2.13146630 1.41605447 -122.124023 81.133945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41611357-1.41605447) × R
    5.91000000000896e-05 × 6371000     		dl = 376.526100000571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41611357-1.41605447) × R
    5.91000000000896e-05 × 6371000     		dr = 376.526100000571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13184980--2.13146630) × cos(1.41611357) × R
    0.00038349999999987 × 0.154066651583042 × 6371000     		do = 376.427737379709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13184980--2.13146630) × cos(1.41605447) × R
    0.00038349999999987 × 0.154125045686959 × 6371000     		du = 376.570410438337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41611357)-sin(1.41605447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154066651583042-0.154125045686959)×R²
    abs(-2.13146630--2.13184980)×5.83941039175029e-05×R²
    0.00038349999999987×5.83941039175029e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.83941039175029e-05×40589641000000     		ar = 141761.727993455m²