Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26329 / 51185
↖ ↑ ↗
← S 70.585243°
W 35.370483°		 ← 203.03 m → S 70.585243°
W 35.364990°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
S 70.587069°
W 35.370483°		 ← 203.01 m →
41 222 m²		 S 70.587069°
W 35.364990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401756286621094 y=0.781028747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401756286621094 × 216)
    floor (0.401756286621094 × 65536)
    floor (26329.5)     		tx = 26329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781028747558594 × 216)
    floor (0.781028747558594 × 65536)
    floor (51185.5)     		ty = 51185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26329 / 51185 ti = "16/26329/51185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26329/51185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26329 ÷ 216
    26329 ÷ 65536     		x = 0.401748657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51185 ÷ 216
    51185 ÷ 65536     		y = 0.781021118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401748657226562 × 2 - 1) × π
    -0.196502685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61733139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781021118164062 × 2 - 1) × π
    -0.562042236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76570776060515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61733139} λ = -0.61733139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76570776060515))-π/2
    2×atan(0.171065670087108)-π/2
    2×0.169425711721401-π/2
    0.338851423442801-1.57079632675     		φ = -1.23194490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61733139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.370483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23194490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.585243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26329 KachelY 51185 -0.61733139 -1.23194490 -35.370483 -70.585243
    Oben rechts KachelX + 1 26330 KachelY 51185 -0.61723552 -1.23194490 -35.364990 -70.585243
    Unten links KachelX 26329 KachelY + 1 51186 -0.61733139 -1.23197677 -35.370483 -70.587069
    Unten rechts KachelX + 1 26330 KachelY + 1 51186 -0.61723552 -1.23197677 -35.364990 -70.587069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23194490--1.23197677) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dl = 203.043769999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23194490--1.23197677) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dr = 203.043769999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61733139--0.61723552) × cos(-1.23194490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332404049659618 × 6371000     		do = 203.028328230563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61733139--0.61723552) × cos(-1.23197677) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332373991712139 × 6371000     		du = 203.009969203851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23194490)-sin(-1.23197677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332404049659618-0.332373991712139)×R²
    abs(-0.61723552--0.61733139)×3.00579474794005e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00579474794005e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00579474794005e-05×40589641000000     		ar = 41221.773340814m²