Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26328 / 51233
↖ ↑ ↗
← S 70.672699°
W 35.375977°		 ← 202.17 m → S 70.672699°
W 35.370483°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
S 70.674517°
W 35.375977°		 ← 202.15 m →
40 867 m²		 S 70.674517°
W 35.370483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401741027832031 y=0.781761169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401741027832031 × 216)
    floor (0.401741027832031 × 65536)
    floor (26328.5)     		tx = 26328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781761169433594 × 216)
    floor (0.781761169433594 × 65536)
    floor (51233.5)     		ty = 51233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26328 / 51233 ti = "16/26328/51233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26328/51233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26328 ÷ 216
    26328 ÷ 65536     		x = 0.4017333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51233 ÷ 216
    51233 ÷ 65536     		y = 0.781753540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61742727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781753540039062 × 2 - 1) × π
    -0.563507080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77030970296867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61742727} λ = -0.61742727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77030970296867))-π/2
    2×atan(0.170280244361087)-π/2
    2×0.168662517317128-π/2
    0.337325034634256-1.57079632675     		φ = -1.23347129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61742727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.375977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23347129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.672699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26328 KachelY 51233 -0.61742727 -1.23347129 -35.375977 -70.672699
    Oben rechts KachelX + 1 26329 KachelY 51233 -0.61733139 -1.23347129 -35.370483 -70.672699
    Unten links KachelX 26328 KachelY + 1 51234 -0.61742727 -1.23350302 -35.375977 -70.674517
    Unten rechts KachelX + 1 26329 KachelY + 1 51234 -0.61733139 -1.23350302 -35.370483 -70.674517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23347129--1.23350302) × R
    3.17299999998966e-05 × 6371000     		dl = 202.151829999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23347129--1.23350302) × R
    3.17299999998966e-05 × 6371000     		dr = 202.151829999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61742727--0.61733139) × cos(-1.23347129) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330964067985801 × 6371000     		do = 202.169890755814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61742727--0.61733139) × cos(-1.23350302) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.330934126015474 × 6371000     		du = 202.151600658926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23347129)-sin(-1.23350302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330964067985801-0.330934126015474)×R²
    abs(-0.61733139--0.61742727)×2.99419703269077e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99419703269077e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99419703269077e-05×40589641000000     		ar = 40867.1647021931m²