Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26328 / 51184
↖ ↑ ↗
← S 70.583417°
W 35.375977°		 ← 203.07 m → S 70.583417°
W 35.370483°		 →
↑
203.04 m
↓
↑
203.04 m
↓
S 70.585243°
W 35.375977°		 ← 203.05 m →
41 230 m²		 S 70.585243°
W 35.370483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401741027832031 y=0.781013488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401741027832031 × 216)
    floor (0.401741027832031 × 65536)
    floor (26328.5)     		tx = 26328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781013488769531 × 216)
    floor (0.781013488769531 × 65536)
    floor (51184.5)     		ty = 51184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26328 / 51184 ti = "16/26328/51184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26328/51184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26328 ÷ 216
    26328 ÷ 65536     		x = 0.4017333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51184 ÷ 216
    51184 ÷ 65536     		y = 0.781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61742727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781005859375 × 2 - 1) × π
    -0.56201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76561188680591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61742727} λ = -0.61742727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76561188680591))-π/2
    2×atan(0.171082071589044)-π/2
    2×0.169441646861242-π/2
    0.338883293722484-1.57079632675     		φ = -1.23191303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61742727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.375977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23191303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.583417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26328 KachelY 51184 -0.61742727 -1.23191303 -35.375977 -70.583417
    Oben rechts KachelX + 1 26329 KachelY 51184 -0.61733139 -1.23191303 -35.370483 -70.583417
    Unten links KachelX 26328 KachelY + 1 51185 -0.61742727 -1.23194490 -35.375977 -70.585243
    Unten rechts KachelX + 1 26329 KachelY + 1 51185 -0.61733139 -1.23194490 -35.370483 -70.585243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23191303--1.23194490) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dl = 203.043769999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23191303--1.23194490) × R
    3.18699999999339e-05 × 6371000     		dr = 203.043769999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61742727--0.61733139) × cos(-1.23191303) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332434107269476 × 6371000     		do = 203.067866427905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61742727--0.61733139) × cos(-1.23194490) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332404049659618 × 6371000     		du = 203.049505692438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23191303)-sin(-1.23194490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332434107269476-0.332404049659618)×R²
    abs(-0.61733139--0.61742727)×3.00576098576921e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00576098576921e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00576098576921e-05×40589641000000     		ar = 41229.8011523659m²