Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26326 / 51231
↖ ↑ ↗
← S 70.669063°
W 35.386963°		 ← 202.19 m → S 70.669063°
W 35.381470°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
S 70.670881°
W 35.386963°		 ← 202.17 m →
40 883 m²		 S 70.670881°
W 35.381470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401710510253906 y=0.781730651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401710510253906 × 216)
    floor (0.401710510253906 × 65536)
    floor (26326.5)     		tx = 26326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781730651855469 × 216)
    floor (0.781730651855469 × 65536)
    floor (51231.5)     		ty = 51231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26326 / 51231 ti = "16/26326/51231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26326/51231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26326 ÷ 216
    26326 ÷ 65536     		x = 0.401702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51231 ÷ 216
    51231 ÷ 65536     		y = 0.781723022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.19659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61761901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781723022460938 × 2 - 1) × π
    -0.563446044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77011795537019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61761901} λ = -0.61761901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77011795537019))-π/2
    2×atan(0.170312898319571)-π/2
    2×0.168694250970399-π/2
    0.337388501940799-1.57079632675     		φ = -1.23340782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61761901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.386963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23340782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.669063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26326 KachelY 51231 -0.61761901 -1.23340782 -35.386963 -70.669063
    Oben rechts KachelX + 1 26327 KachelY 51231 -0.61752314 -1.23340782 -35.381470 -70.669063
    Unten links KachelX 26326 KachelY + 1 51232 -0.61761901 -1.23343956 -35.386963 -70.670881
    Unten rechts KachelX + 1 26327 KachelY + 1 51232 -0.61752314 -1.23343956 -35.381470 -70.670881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23340782--1.23343956) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dl = 202.215540000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23340782--1.23343956) × R
    3.17400000000578e-05 × 6371000     		dr = 202.215540000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61761901--0.61752314) × cos(-1.23340782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331023960363011 × 6371000     		do = 202.185386566688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61761901--0.61752314) × cos(-1.23343956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330994009622915 × 6371000     		du = 202.167093020935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23340782)-sin(-1.23343956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331023960363011-0.330994009622915)×R²
    abs(-0.61752314--0.61761901)×2.99507400958743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99507400958743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99507400958743e-05×40589641000000     		ar = 40883.1775087241m²