Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26325 / 51039
↖ ↑ ↗
← S 70.316888°
W 35.392456°		 ← 205.75 m → S 70.316888°
W 35.386963°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 70.318738°
W 35.392456°		 ← 205.73 m →
42 324 m²		 S 70.318738°
W 35.386963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401695251464844 y=0.778800964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401695251464844 × 216)
    floor (0.401695251464844 × 65536)
    floor (26325.5)     		tx = 26325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778800964355469 × 216)
    floor (0.778800964355469 × 65536)
    floor (51039.5)     		ty = 51039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26325 / 51039 ti = "16/26325/51039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26325/51039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26325 ÷ 216
    26325 ÷ 65536     		x = 0.401687622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51039 ÷ 216
    51039 ÷ 65536     		y = 0.778793334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401687622070312 × 2 - 1) × π
    -0.196624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61771489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778793334960938 × 2 - 1) × π
    -0.557586669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75171018591609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61771489} λ = -0.61771489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75171018591609))-π/2
    2×atan(0.173477011676412)-π/2
    2×0.171767552525641-π/2
    0.343535105051282-1.57079632675     		φ = -1.22726122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61771489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.392456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22726122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.316888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26325 KachelY 51039 -0.61771489 -1.22726122 -35.392456 -70.316888
    Oben rechts KachelX + 1 26326 KachelY 51039 -0.61761901 -1.22726122 -35.386963 -70.316888
    Unten links KachelX 26325 KachelY + 1 51040 -0.61771489 -1.22729351 -35.392456 -70.318738
    Unten rechts KachelX + 1 26326 KachelY + 1 51040 -0.61761901 -1.22729351 -35.386963 -70.318738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22726122--1.22729351) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dl = 205.719590000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22726122--1.22729351) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dr = 205.719590000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61771489--0.61761901) × cos(-1.22726122) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336817739834722 × 6371000     		do = 205.745614868398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61771489--0.61761901) × cos(-1.22729351) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336787336368205 × 6371000     		du = 205.727042865879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22726122)-sin(-1.22729351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336817739834722-0.336787336368205)×R²
    abs(-0.61761901--0.61771489)×3.04034665168373e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.04034665168373e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.04034665168373e-05×40589641000000     		ar = 42323.9932264599m²