Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26324 / 51023
↖ ↑ ↗
← S 70.287264°
W 35.397949°		 ← 206.02 m → S 70.287264°
W 35.392456°		 →
↑
205.97 m
↓
↑
205.97 m
↓
S 70.289116°
W 35.397949°		 ← 206 m →
42 433 m²		 S 70.289116°
W 35.392456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401679992675781 y=0.778556823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401679992675781 × 216)
    floor (0.401679992675781 × 65536)
    floor (26324.5)     		tx = 26324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778556823730469 × 216)
    floor (0.778556823730469 × 65536)
    floor (51023.5)     		ty = 51023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26324 / 51023 ti = "16/26324/51023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26324/51023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26324 ÷ 216
    26324 ÷ 65536     		x = 0.40167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51023 ÷ 216
    51023 ÷ 65536     		y = 0.778549194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61781076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778549194335938 × 2 - 1) × π
    -0.557098388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75017620512825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61781076} λ = -0.61781076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75017620512825))-π/2
    2×atan(0.173743326287983)-π/2
    2×0.172026075137466-π/2
    0.344052150274932-1.57079632675     		φ = -1.22674418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61781076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.397949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22674418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.287264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26324 KachelY 51023 -0.61781076 -1.22674418 -35.397949 -70.287264
    Oben rechts KachelX + 1 26325 KachelY 51023 -0.61771489 -1.22674418 -35.392456 -70.287264
    Unten links KachelX 26324 KachelY + 1 51024 -0.61781076 -1.22677651 -35.397949 -70.289116
    Unten rechts KachelX + 1 26325 KachelY + 1 51024 -0.61771489 -1.22677651 -35.392456 -70.289116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22674418--1.22677651) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dl = 205.974430000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22674418--1.22677651) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dr = 205.974430000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61781076--0.61771489) × cos(-1.22674418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337304524075079 × 6371000     		do = 206.021478070724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61781076--0.61771489) × cos(-1.22677651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337274088579359 × 6371000     		du = 206.002888442165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22674418)-sin(-1.22677651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337304524075079-0.337274088579359)×R²
    abs(-0.61771489--0.61781076)×3.04354957196828e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04354957196828e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04354957196828e-05×40589641000000     		ar = 42433.2420232433m²