Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26321 / 51030
↖ ↑ ↗
← S 70.300230°
W 35.414428°		 ← 205.89 m → S 70.300230°
W 35.408936°		 →
↑
205.85 m
↓
↑
205.85 m
↓
S 70.302081°
W 35.414428°		 ← 205.87 m →
42 380 m²		 S 70.302081°
W 35.408936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401634216308594 y=0.778663635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401634216308594 × 216)
    floor (0.401634216308594 × 65536)
    floor (26321.5)     		tx = 26321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778663635253906 × 216)
    floor (0.778663635253906 × 65536)
    floor (51030.5)     		ty = 51030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26321 / 51030 ti = "16/26321/51030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26321/51030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26321 ÷ 216
    26321 ÷ 65536     		x = 0.401626586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51030 ÷ 216
    51030 ÷ 65536     		y = 0.778656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401626586914062 × 2 - 1) × π
    -0.196746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61809838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.55731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75084732172293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61809838} λ = -0.61809838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75084732172293))-π/2
    2×atan(0.173626763376523)-π/2
    2×0.171912925552486-π/2
    0.343825851104972-1.57079632675     		φ = -1.22697048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61809838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.414428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22697048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.300230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26321 KachelY 51030 -0.61809838 -1.22697048 -35.414428 -70.300230
    Oben rechts KachelX + 1 26322 KachelY 51030 -0.61800251 -1.22697048 -35.408936 -70.300230
    Unten links KachelX 26321 KachelY + 1 51031 -0.61809838 -1.22700279 -35.414428 -70.302081
    Unten rechts KachelX + 1 26322 KachelY + 1 51031 -0.61800251 -1.22700279 -35.408936 -70.302081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22697048--1.22700279) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dl = 205.847009999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22697048--1.22700279) × R
    3.23099999999243e-05 × 6371000     		dr = 205.847009999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61809838--0.61800251) × cos(-1.22697048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337091477617772 × 6371000     		do = 205.89135190016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61809838--0.61800251) × cos(-1.22700279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337061058484785 × 6371000     		du = 205.872772265757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22697048)-sin(-1.22700279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337091477617772-0.337061058484785)×R²
    abs(-0.61800251--0.61809838)×3.04191329870696e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04191329870696e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04191329870696e-05×40589641000000     		ar = 42380.2068961035m²