Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26319 / 51241
↖ ↑ ↗
← S 70.687238°
W 35.425415°		 ← 202 m → S 70.687238°
W 35.419922°		 →
↑
201.96 m
↓
↑
201.96 m
↓
S 70.689055°
W 35.425415°		 ← 201.98 m →
40 795 m²		 S 70.689055°
W 35.419922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401603698730469 y=0.781883239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401603698730469 × 216)
    floor (0.401603698730469 × 65536)
    floor (26319.5)     		tx = 26319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781883239746094 × 216)
    floor (0.781883239746094 × 65536)
    floor (51241.5)     		ty = 51241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26319 / 51241 ti = "16/26319/51241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26319/51241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26319 ÷ 216
    26319 ÷ 65536     		x = 0.401596069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51241 ÷ 216
    51241 ÷ 65536     		y = 0.781875610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401596069335938 × 2 - 1) × π
    -0.196807861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61829013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781875610351562 × 2 - 1) × π
    -0.563751220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77107669336259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61829013} λ = -0.61829013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77107669336259))-π/2
    2×atan(0.170149691122328)-π/2
    2×0.168535640109038-π/2
    0.337071280218076-1.57079632675     		φ = -1.23372505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61829013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.425415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23372505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.687238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26319 KachelY 51241 -0.61829013 -1.23372505 -35.425415 -70.687238
    Oben rechts KachelX + 1 26320 KachelY 51241 -0.61819426 -1.23372505 -35.419922 -70.687238
    Unten links KachelX 26319 KachelY + 1 51242 -0.61829013 -1.23375675 -35.425415 -70.689055
    Unten rechts KachelX + 1 26320 KachelY + 1 51242 -0.61819426 -1.23375675 -35.419922 -70.689055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23372505--1.23375675) × R
    3.16999999998568e-05 × 6371000     		dl = 201.960699999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23372505--1.23375675) × R
    3.16999999998568e-05 × 6371000     		dr = 201.960699999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61829013--0.61819426) × cos(-1.23372505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330724598393959 × 6371000     		do = 202.002539937188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61829013--0.61819426) × cos(-1.23375675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330694682071993 × 6371000     		du = 201.984267413607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23372505)-sin(-1.23375675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330724598393959-0.330694682071993)×R²
    abs(-0.61819426--0.61829013)×2.99163219663057e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99163219663057e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99163219663057e-05×40589641000000     		ar = 40794.7292047611m²