Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26313 / 51242
↖ ↑ ↗
← S 70.689055°
W 35.458374°		 ← 201.98 m → S 70.689055°
W 35.452881°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
S 70.690872°
W 35.458374°		 ← 201.97 m →
40 804 m²		 S 70.690872°
W 35.452881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401512145996094 y=0.781898498535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401512145996094 × 216)
    floor (0.401512145996094 × 65536)
    floor (26313.5)     		tx = 26313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781898498535156 × 216)
    floor (0.781898498535156 × 65536)
    floor (51242.5)     		ty = 51242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26313 / 51242 ti = "16/26313/51242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26313/51242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26313 ÷ 216
    26313 ÷ 65536     		x = 0.401504516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51242 ÷ 216
    51242 ÷ 65536     		y = 0.781890869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401504516601562 × 2 - 1) × π
    -0.196990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61886537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.56378173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77117256716183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61886537} λ = -0.61886537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77117256716183))-π/2
    2×atan(0.170133379006965)-π/2
    2×0.16851978691421-π/2
    0.33703957382842-1.57079632675     		φ = -1.23375675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61886537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.458374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23375675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.689055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26313 KachelY 51242 -0.61886537 -1.23375675 -35.458374 -70.689055
    Oben rechts KachelX + 1 26314 KachelY 51242 -0.61876950 -1.23375675 -35.452881 -70.689055
    Unten links KachelX 26313 KachelY + 1 51243 -0.61886537 -1.23378846 -35.458374 -70.690872
    Unten rechts KachelX + 1 26314 KachelY + 1 51243 -0.61876950 -1.23378846 -35.452881 -70.690872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23375675--1.23378846) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23375675--1.23378846) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61886537--0.61876950) × cos(-1.23375675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330694682071993 × 6371000     		do = 201.984267413607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61886537--0.61876950) × cos(-1.23378846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330664755980232 × 6371000     		du = 201.965988922756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23375675)-sin(-1.23378846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330694682071993-0.330664755980232)×R²
    abs(-0.61876950--0.61886537)×2.99260917610011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99260917610011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99260917610011e-05×40589641000000     		ar = 40803.906106223m²