Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26312 / 51063
↖ ↑ ↗
← S 70.361245°
W 35.463867°		 ← 205.30 m → S 70.361245°
W 35.458374°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
S 70.363091°
W 35.463867°		 ← 205.28 m →
42 141 m²		 S 70.363091°
W 35.458374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401496887207031 y=0.779167175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401496887207031 × 216)
    floor (0.401496887207031 × 65536)
    floor (26312.5)     		tx = 26312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779167175292969 × 216)
    floor (0.779167175292969 × 65536)
    floor (51063.5)     		ty = 51063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26312 / 51063 ti = "16/26312/51063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26312/51063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26312 ÷ 216
    26312 ÷ 65536     		x = 0.4014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51063 ÷ 216
    51063 ÷ 65536     		y = 0.779159545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61896125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779159545898438 × 2 - 1) × π
    -0.558319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75401115709785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61896125} λ = -0.61896125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75401115709785))-π/2
    2×atan(0.173078304954097)-π/2
    2×0.171380468075328-π/2
    0.342760936150657-1.57079632675     		φ = -1.22803539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61896125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22803539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.361245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26312 KachelY 51063 -0.61896125 -1.22803539 -35.463867 -70.361245
    Oben rechts KachelX + 1 26313 KachelY 51063 -0.61886537 -1.22803539 -35.458374 -70.361245
    Unten links KachelX 26312 KachelY + 1 51064 -0.61896125 -1.22806761 -35.463867 -70.363091
    Unten rechts KachelX + 1 26313 KachelY + 1 51064 -0.61886537 -1.22806761 -35.458374 -70.363091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22803539--1.22806761) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22803539--1.22806761) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61896125--0.61886537) × cos(-1.22803539) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336088703831341 × 6371000     		do = 205.300282146759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61896125--0.61886537) × cos(-1.22806761) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336058357883446 × 6371000     		du = 205.281745279576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22803539)-sin(-1.22806761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336088703831341-0.336058357883446)×R²
    abs(-0.61886537--0.61896125)×3.03459478953605e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.03459478953605e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.03459478953605e-05×40589641000000     		ar = 42140.8295417722m²