Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26308 / 51059
↖ ↑ ↗
← S 70.353859°
W 35.485840°		 ← 205.35 m → S 70.353859°
W 35.480347°		 →
↑
205.34 m
↓
↑
205.34 m
↓
S 70.355706°
W 35.485840°		 ← 205.33 m →
42 165 m²		 S 70.355706°
W 35.480347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401435852050781 y=0.779106140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401435852050781 × 216)
    floor (0.401435852050781 × 65536)
    floor (26308.5)     		tx = 26308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779106140136719 × 216)
    floor (0.779106140136719 × 65536)
    floor (51059.5)     		ty = 51059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26308 / 51059 ti = "16/26308/51059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26308/51059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26308 ÷ 216
    26308 ÷ 65536     		x = 0.40142822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51059 ÷ 216
    51059 ÷ 65536     		y = 0.779098510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1971435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61934474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779098510742188 × 2 - 1) × π
    -0.558197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75362766190089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61934474} λ = -0.61934474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75362766190089))-π/2
    2×atan(0.173144692381561)-π/2
    2×0.171444923916488-π/2
    0.342889847832976-1.57079632675     		φ = -1.22790648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61934474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.485840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22790648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.353859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26308 KachelY 51059 -0.61934474 -1.22790648 -35.485840 -70.353859
    Oben rechts KachelX + 1 26309 KachelY 51059 -0.61924887 -1.22790648 -35.480347 -70.353859
    Unten links KachelX 26308 KachelY + 1 51060 -0.61934474 -1.22793871 -35.485840 -70.355706
    Unten rechts KachelX + 1 26309 KachelY + 1 51060 -0.61924887 -1.22793871 -35.480347 -70.355706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22790648--1.22793871) × R
    3.22300000001885e-05 × 6371000     		dl = 205.337330001201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22790648--1.22793871) × R
    3.22300000001885e-05 × 6371000     		dr = 205.337330001201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61934474--0.61924887) × cos(-1.22790648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336210112387186 × 6371000     		do = 205.353024796414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61934474--0.61924887) × cos(-1.22793871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336179758417439 × 6371000     		du = 205.334484962922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22790648)-sin(-1.22793871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336210112387186-0.336179758417439)×R²
    abs(-0.61924887--0.61934474)×3.03539697469879e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03539697469879e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03539697469879e-05×40589641000000     		ar = 42164.7383631497m²