Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26307 / 51051
↖ ↑ ↗
← S 70.339079°
W 35.491333°		 ← 205.52 m → S 70.339079°
W 35.485840°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
S 70.340927°
W 35.491333°		 ← 205.50 m →
42 226 m²		 S 70.340927°
W 35.485840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401420593261719 y=0.778984069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401420593261719 × 216)
    floor (0.401420593261719 × 65536)
    floor (26307.5)     		tx = 26307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778984069824219 × 216)
    floor (0.778984069824219 × 65536)
    floor (51051.5)     		ty = 51051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26307 / 51051 ti = "16/26307/51051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26307/51051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26307 ÷ 216
    26307 ÷ 65536     		x = 0.401412963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51051 ÷ 216
    51051 ÷ 65536     		y = 0.778976440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401412963867188 × 2 - 1) × π
    -0.197174072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.61944062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778976440429688 × 2 - 1) × π
    -0.557952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75286067150697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61944062} λ = -0.61944062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75286067150697))-π/2
    2×atan(0.173277543638682)-π/2
    2×0.17157390545746-π/2
    0.34314781091492-1.57079632675     		φ = -1.22764852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61944062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.491333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22764852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.339079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26307 KachelY 51051 -0.61944062 -1.22764852 -35.491333 -70.339079
    Oben rechts KachelX + 1 26308 KachelY 51051 -0.61934474 -1.22764852 -35.485840 -70.339079
    Unten links KachelX 26307 KachelY + 1 51052 -0.61944062 -1.22768077 -35.491333 -70.340927
    Unten rechts KachelX + 1 26308 KachelY + 1 51052 -0.61934474 -1.22768077 -35.485840 -70.340927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22764852--1.22768077) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dl = 205.464750000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22764852--1.22768077) × R
    3.22500000000669e-05 × 6371000     		dr = 205.464750000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61944062--0.61934474) × cos(-1.22764852) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336453044573689 × 6371000     		do = 205.522840228447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61944062--0.61934474) × cos(-1.22768077) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.336422674565872 × 6371000     		du = 205.504288664224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22764852)-sin(-1.22768077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336453044573689-0.336422674565872)×R²
    abs(-0.61934474--0.61944062)×3.03700078169711e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.03700078169711e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.03700078169711e-05×40589641000000     		ar = 42225.7931444766m²