Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26306 / 24949
↖ ↑ ↗
← S 68.093808°
E109.006348°		 ← 455.78 m → S 68.093808°
E109.017334°		 →
↑
455.78 m
↓
↑
455.78 m
↓
S 68.097907°
E109.006348°		 ← 455.70 m →
207 717 m²		 S 68.097907°
E109.017334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802810668945312 y=0.761398315429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802810668945312 × 215)
    floor (0.802810668945312 × 32768)
    floor (26306.5)     		tx = 26306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761398315429688 × 215)
    floor (0.761398315429688 × 32768)
    floor (24949.5)     		ty = 24949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26306 / 24949 ti = "15/26306/24949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26306/24949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26306 ÷ 215
    26306 ÷ 32768     		x = 0.80279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24949 ÷ 215
    24949 ÷ 32768     		y = 0.761383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80279541015625 × 2 - 1) × π
    0.6055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90251967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.52276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64231818098312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90251967} λ = 1.90251967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64231818098312))-π/2
    2×atan(0.193530882264011)-π/2
    2×0.191167586779342-π/2
    0.382335173558684-1.57079632675     		φ = -1.18846115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90251967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.006348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18846115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.093808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26306 KachelY 24949 1.90251967 -1.18846115 109.006348 -68.093808
    Oben rechts KachelX + 1 26307 KachelY 24949 1.90271142 -1.18846115 109.017334 -68.093808
    Unten links KachelX 26306 KachelY + 1 24950 1.90251967 -1.18853269 109.006348 -68.097907
    Unten rechts KachelX + 1 26307 KachelY + 1 24950 1.90271142 -1.18853269 109.017334 -68.097907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18846115--1.18853269) × R
    7.15399999999811e-05 × 6371000     		dl = 455.781339999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18846115--1.18853269) × R
    7.15399999999811e-05 × 6371000     		dr = 455.781339999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90251967-1.90271142) × cos(-1.18846115) × R
    0.000191749999999935 × 0.373088052225716 × 6371000     		do = 455.77900830483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90251967-1.90271142) × cos(-1.18853269) × R
    0.000191749999999935 × 0.373021676749536 × 6371000     		du = 455.697921417891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18846115)-sin(-1.18853269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373088052225716-0.373021676749536)×R²
    abs(1.90271142-1.90251967)×6.63754761796587e-05×R²
    0.000191749999999935×6.63754761796587e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.63754761796587e-05×40589641000000     		ar = 207717.088292785m²