Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26303 / 51014
↖ ↑ ↗
← S 70.270581°
W 35.513306°		 ← 206.19 m → S 70.270581°
W 35.507813°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
S 70.272435°
W 35.513306°		 ← 206.17 m →
42 507 m²		 S 70.272435°
W 35.507813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401359558105469 y=0.778419494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401359558105469 × 216)
    floor (0.401359558105469 × 65536)
    floor (26303.5)     		tx = 26303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778419494628906 × 216)
    floor (0.778419494628906 × 65536)
    floor (51014.5)     		ty = 51014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26303 / 51014 ti = "16/26303/51014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26303/51014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26303 ÷ 216
    26303 ÷ 65536     		x = 0.401351928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51014 ÷ 216
    51014 ÷ 65536     		y = 0.778411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401351928710938 × 2 - 1) × π
    -0.197296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61982411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.55682373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74931334093509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61982411} λ = -0.61982411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74931334093509))-π/2
    2×atan(0.173893307880605)-π/2
    2×0.172171658255158-π/2
    0.344343316510317-1.57079632675     		φ = -1.22645301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61982411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.513306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22645301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.270581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26303 KachelY 51014 -0.61982411 -1.22645301 -35.513306 -70.270581
    Oben rechts KachelX + 1 26304 KachelY 51014 -0.61972824 -1.22645301 -35.507813 -70.270581
    Unten links KachelX 26303 KachelY + 1 51015 -0.61982411 -1.22648537 -35.513306 -70.272435
    Unten rechts KachelX + 1 26304 KachelY + 1 51015 -0.61972824 -1.22648537 -35.507813 -70.272435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22645301--1.22648537) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dl = 206.165560000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22645301--1.22648537) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dr = 206.165560000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61982411--0.61972824) × cos(-1.22645301) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337578615926993 × 6371000     		do = 206.18889002173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61982411--0.61972824) × cos(-1.22648537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337548155368397 × 6371000     		du = 206.170285085072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22645301)-sin(-1.22648537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337578615926993-0.337548155368397)×R²
    abs(-0.61972824--0.61982411)×3.04605585956241e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04605585956241e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04605585956241e-05×40589641000000     		ar = 42507.1301326165m²