Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26301 / 51214
↖ ↑ ↗
← S 70.638127°
W 35.524292°		 ← 202.50 m → S 70.638127°
W 35.518799°		 →
↑
202.47 m
↓
↑
202.47 m
↓
S 70.639948°
W 35.524292°		 ← 202.48 m →
40 998 m²		 S 70.639948°
W 35.518799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401329040527344 y=0.781471252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401329040527344 × 216)
    floor (0.401329040527344 × 65536)
    floor (26301.5)     		tx = 26301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781471252441406 × 216)
    floor (0.781471252441406 × 65536)
    floor (51214.5)     		ty = 51214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26301 / 51214 ti = "16/26301/51214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26301/51214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26301 ÷ 216
    26301 ÷ 65536     		x = 0.401321411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51214 ÷ 216
    51214 ÷ 65536     		y = 0.781463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401321411132812 × 2 - 1) × π
    -0.197357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.62001586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.56292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76848810078311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62001586} λ = -0.62001586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76848810078311))-π/2
    2×atan(0.170590709912888)-π/2
    2×0.168964218961426-π/2
    0.337928437922853-1.57079632675     		φ = -1.23286789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62001586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.524292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23286789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.638127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26301 KachelY 51214 -0.62001586 -1.23286789 -35.524292 -70.638127
    Oben rechts KachelX + 1 26302 KachelY 51214 -0.61991999 -1.23286789 -35.518799 -70.638127
    Unten links KachelX 26301 KachelY + 1 51215 -0.62001586 -1.23289967 -35.524292 -70.639948
    Unten rechts KachelX + 1 26302 KachelY + 1 51215 -0.61991999 -1.23289967 -35.518799 -70.639948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23286789--1.23289967) × R
    3.17799999998147e-05 × 6371000     		dl = 202.47037999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23286789--1.23289967) × R
    3.17799999998147e-05 × 6371000     		dr = 202.47037999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62001586--0.61991999) × cos(-1.23286789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33153340210241 × 6371000     		do = 202.49654735064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62001586--0.61991999) × cos(-1.23289967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331503419301145 × 6371000     		du = 202.478234222317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23286789)-sin(-1.23289967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33153340210241-0.331503419301145)×R²
    abs(-0.61991999--0.62001586)×2.99828012644832e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99828012644832e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99828012644832e-05×40589641000000     		ar = 40997.6989608601m²