Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26301 / 24909
↖ ↑ ↗
← S 67.929269°
E108.951416°		 ← 459.03 m → S 67.929269°
E108.962402°		 →
↑
458.97 m
↓
↑
458.97 m
↓
S 67.933396°
E108.951416°		 ← 458.95 m →
210 662 m²		 S 67.933396°
E108.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802658081054688 y=0.760177612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802658081054688 × 215)
    floor (0.802658081054688 × 32768)
    floor (26301.5)     		tx = 26301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760177612304688 × 215)
    floor (0.760177612304688 × 32768)
    floor (24909.5)     		ty = 24909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26301 / 24909 ti = "15/26301/24909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26301/24909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26301 ÷ 215
    26301 ÷ 32768     		x = 0.802642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24909 ÷ 215
    24909 ÷ 32768     		y = 0.760162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802642822265625 × 2 - 1) × π
    0.60528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90156093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.52032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63464827704391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90156093} λ = 1.90156093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63464827704391))-π/2
    2×atan(0.195020952583611)-π/2
    2×0.192603462427657-π/2
    0.385206924855315-1.57079632675     		φ = -1.18558940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90156093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.951416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18558940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.929269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26301 KachelY 24909 1.90156093 -1.18558940 108.951416 -67.929269
    Oben rechts KachelX + 1 26302 KachelY 24909 1.90175268 -1.18558940 108.962402 -67.929269
    Unten links KachelX 26301 KachelY + 1 24910 1.90156093 -1.18566144 108.951416 -67.933396
    Unten rechts KachelX + 1 26302 KachelY + 1 24910 1.90175268 -1.18566144 108.962402 -67.933396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18558940--1.18566144) × R
    7.2040000000051e-05 × 6371000     		dl = 458.966840000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18558940--1.18566144) × R
    7.2040000000051e-05 × 6371000     		dr = 458.966840000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90156093-1.90175268) × cos(-1.18558940) × R
    0.000191749999999935 × 0.375750908134844 × 6371000     		do = 459.032057600514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90156093-1.90175268) × cos(-1.18566144) × R
    0.000191749999999935 × 0.375684146200675 × 6371000     		du = 458.950498601328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18558940)-sin(-1.18566144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375750908134844-0.375684146200675)×R²
    abs(1.90175268-1.90156093)×6.67619341691017e-05×R²
    0.000191749999999935×6.67619341691017e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.67619341691017e-05×40589641000000     		ar = 210661.776588681m²