Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26300 / 51052
↖ ↑ ↗
← S 70.340927°
W 35.529785°		 ← 205.48 m → S 70.340927°
W 35.524292°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
S 70.342775°
W 35.529785°		 ← 205.46 m →
42 218 m²		 S 70.342775°
W 35.524292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401313781738281 y=0.778999328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401313781738281 × 216)
    floor (0.401313781738281 × 65536)
    floor (26300.5)     		tx = 26300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778999328613281 × 216)
    floor (0.778999328613281 × 65536)
    floor (51052.5)     		ty = 51052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26300 / 51052 ti = "16/26300/51052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26300/51052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26300 ÷ 216
    26300 ÷ 65536     		x = 0.40130615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51052 ÷ 216
    51052 ÷ 65536     		y = 0.77899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.1973876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.62011173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.5579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75295654530621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62011173} λ = -0.62011173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75295654530621))-π/2
    2×atan(0.17326093165859)-π/2
    2×0.171557777669507-π/2
    0.343115555339014-1.57079632675     		φ = -1.22768077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62011173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22768077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.340927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26300 KachelY 51052 -0.62011173 -1.22768077 -35.529785 -70.340927
    Oben rechts KachelX + 1 26301 KachelY 51052 -0.62001586 -1.22768077 -35.524292 -70.340927
    Unten links KachelX 26300 KachelY + 1 51053 -0.62011173 -1.22771302 -35.529785 -70.342775
    Unten rechts KachelX + 1 26301 KachelY + 1 51053 -0.62001586 -1.22771302 -35.524292 -70.342775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22768077--1.22771302) × R
    3.22499999998449e-05 × 6371000     		dl = 205.464749999012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22768077--1.22771302) × R
    3.22499999998449e-05 × 6371000     		dr = 205.464749999012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62011173--0.62001586) × cos(-1.22768077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336422674565872 × 6371000     		do = 205.48285517552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62011173--0.62001586) × cos(-1.22771302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336392304208154 × 6371000     		du = 205.464305332456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22768077)-sin(-1.22771302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336422674565872-0.336392304208154)×R²
    abs(-0.62001586--0.62011173)×3.0370357717413e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0370357717413e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0370357717413e-05×40589641000000     		ar = 42217.5778018622m²