Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 263 / 781
↖ ↑ ↗
← N 39.232253°
W133.769531°		 ← 15.140 km → N 39.232253°
W133.593750°		 →
↑
15.155 km
↓
↑
15.155 km
↓
N 39.095963°
W133.769531°		 ← 15.169 km →
229.667 km²		 N 39.095963°
W133.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128662109375 y=0.381591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128662109375 × 211)
    floor (0.128662109375 × 2048)
    floor (263.5)     		tx = 263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381591796875 × 211)
    floor (0.381591796875 × 2048)
    floor (781.5)     		ty = 781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 263 / 781 ti = "11/263/781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/263/781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 263 ÷ 211
    263 ÷ 2048     		x = 0.12841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 781 ÷ 211
    781 ÷ 2048     		y = 0.38134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    -0.7431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33471876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    0.2373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.745514662891113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33471876} λ = -2.33471876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.745514662891113))-π/2
    2×atan(2.10752582124236)-π/2
    2×1.1277641585386-π/2
    2.25552831707721-1.57079632675     		φ = 0.68473199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33471876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68473199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.232253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 263 KachelY 781 -2.33471876 0.68473199 -133.769531 39.232253
    Oben rechts KachelX + 1 264 KachelY 781 -2.33165080 0.68473199 -133.593750 39.232253
    Unten links KachelX 263 KachelY + 1 782 -2.33471876 0.68235328 -133.769531 39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 264 KachelY + 1 782 -2.33165080 0.68235328 -133.593750 39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68473199-0.68235328) × R
    0.00237871000000001 × 6371000     		dl = 15154.76141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68473199-0.68235328) × R
    0.00237871000000001 × 6371000     		dr = 15154.76141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33471876--2.33165080) × cos(0.68473199) × R
    0.00306796000000009 × 0.774588581970713 × 6371000     		do = 15140.0876332425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33471876--2.33165080) × cos(0.68235328) × R
    0.00306796000000009 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 15169.4507479033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68473199)-sin(0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774588581970713-0.776090840999745)×R²
    abs(-2.33165080--2.33471876)×0.001502259029032×R²
    0.00306796000000009×0.001502259029032×6371000²
    0.00306796000000009×0.001502259029032×40589641000000     		ar = 229667019.599768m²