Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26298 / 51020
↖ ↑ ↗
← S 70.281705°
W 35.540771°		 ← 206.08 m → S 70.281705°
W 35.535278°		 →
↑
206.04 m
↓
↑
206.04 m
↓
S 70.283558°
W 35.540771°		 ← 206.06 m →
42 458 m²		 S 70.283558°
W 35.535278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401283264160156 y=0.778511047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401283264160156 × 216)
    floor (0.401283264160156 × 65536)
    floor (26298.5)     		tx = 26298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778511047363281 × 216)
    floor (0.778511047363281 × 65536)
    floor (51020.5)     		ty = 51020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26298 / 51020 ti = "16/26298/51020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26298/51020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26298 ÷ 216
    26298 ÷ 65536     		x = 0.401275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51020 ÷ 216
    51020 ÷ 65536     		y = 0.77850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.19744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62030348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.5570068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74988858373053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62030348} λ = -0.62030348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74988858373053))-π/2
    2×atan(0.173793305773574)-π/2
    2×0.172074589704937-π/2
    0.344149179409873-1.57079632675     		φ = -1.22664715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62030348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.540771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22664715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.281705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26298 KachelY 51020 -0.62030348 -1.22664715 -35.540771 -70.281705
    Oben rechts KachelX + 1 26299 KachelY 51020 -0.62020761 -1.22664715 -35.535278 -70.281705
    Unten links KachelX 26298 KachelY + 1 51021 -0.62030348 -1.22667949 -35.540771 -70.283558
    Unten rechts KachelX + 1 26299 KachelY + 1 51021 -0.62020761 -1.22667949 -35.535278 -70.283558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22664715--1.22667949) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dl = 206.038139999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22664715--1.22667949) × R
    3.23399999999641e-05 × 6371000     		dr = 206.038139999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62030348--0.62020761) × cos(-1.22664715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337395866101262 × 6371000     		do = 206.077268663204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62030348--0.62020761) × cos(-1.22667949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337365422250018 × 6371000     		du = 206.058673931192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22664715)-sin(-1.22667949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337395866101262-0.337365422250018)×R²
    abs(-0.62020761--0.62030348)×3.04438512442329e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04438512442329e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04438512442329e-05×40589641000000     		ar = 42457.8615232954m²