Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26298 / 51018
↖ ↑ ↗
← S 70.277998°
W 35.540771°		 ← 206.11 m → S 70.277998°
W 35.535278°		 →
↑
206.10 m
↓
↑
206.10 m
↓
S 70.279851°
W 35.540771°		 ← 206.10 m →
42 479 m²		 S 70.279851°
W 35.535278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401283264160156 y=0.778480529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401283264160156 × 216)
    floor (0.401283264160156 × 65536)
    floor (26298.5)     		tx = 26298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778480529785156 × 216)
    floor (0.778480529785156 × 65536)
    floor (51018.5)     		ty = 51018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26298 / 51018 ti = "16/26298/51018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26298/51018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26298 ÷ 216
    26298 ÷ 65536     		x = 0.401275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51018 ÷ 216
    51018 ÷ 65536     		y = 0.778472900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.19744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62030348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.55694580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74969683613205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62030348} λ = -0.62030348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74969683613205))-π/2
    2×atan(0.173826633417734)-π/2
    2×0.172106940048278-π/2
    0.344213880096555-1.57079632675     		φ = -1.22658245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62030348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.540771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22658245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.277998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26298 KachelY 51018 -0.62030348 -1.22658245 -35.540771 -70.277998
    Oben rechts KachelX + 1 26299 KachelY 51018 -0.62020761 -1.22658245 -35.535278 -70.277998
    Unten links KachelX 26298 KachelY + 1 51019 -0.62030348 -1.22661480 -35.540771 -70.279851
    Unten rechts KachelX + 1 26299 KachelY + 1 51019 -0.62020761 -1.22661480 -35.535278 -70.279851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22658245--1.22661480) × R
    3.23499999999033e-05 × 6371000     		dl = 206.101849999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22658245--1.22661480) × R
    3.23499999999033e-05 × 6371000     		dr = 206.101849999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62030348--0.62020761) × cos(-1.22658245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337456771571917 × 6371000     		do = 206.114468979806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62030348--0.62020761) × cos(-1.22661480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337426319013152 × 6371000     		du = 206.095868929347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22658245)-sin(-1.22661480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337456771571917-0.337426319013152)×R²
    abs(-0.62020761--0.62030348)×3.04525587652704e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04525587652704e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04525587652704e-05×40589641000000     		ar = 42478.65661989m²