Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26296 / 51230
↖ ↑ ↗
← S 70.667245°
W 35.551758°		 ← 202.22 m → S 70.667245°
W 35.546264°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
S 70.669063°
W 35.551758°		 ← 202.21 m →
40 878 m²		 S 70.669063°
W 35.546264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401252746582031 y=0.781715393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401252746582031 × 216)
    floor (0.401252746582031 × 65536)
    floor (26296.5)     		tx = 26296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781715393066406 × 216)
    floor (0.781715393066406 × 65536)
    floor (51230.5)     		ty = 51230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26296 / 51230 ti = "16/26296/51230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26296/51230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26296 ÷ 216
    26296 ÷ 65536     		x = 0.4012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51230 ÷ 216
    51230 ÷ 65536     		y = 0.781707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.62049523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.56341552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77002208157095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62049523} λ = -0.62049523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77002208157095))-π/2
    2×atan(0.170329227646958)-π/2
    2×0.168710119950349-π/2
    0.337420239900698-1.57079632675     		φ = -1.23337609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62049523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.551758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23337609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.667245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26296 KachelY 51230 -0.62049523 -1.23337609 -35.551758 -70.667245
    Oben rechts KachelX + 1 26297 KachelY 51230 -0.62039935 -1.23337609 -35.546264 -70.667245
    Unten links KachelX 26296 KachelY + 1 51231 -0.62049523 -1.23340782 -35.551758 -70.669063
    Unten rechts KachelX + 1 26297 KachelY + 1 51231 -0.62039935 -1.23340782 -35.546264 -70.669063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23337609--1.23340782) × R
    3.17300000001186e-05 × 6371000     		dl = 202.151830000756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23337609--1.23340782) × R
    3.17300000001186e-05 × 6371000     		dr = 202.151830000756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62049523--0.62039935) × cos(-1.23337609) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331053901333506 × 6371000     		do = 202.224765589214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62049523--0.62039935) × cos(-1.23340782) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.331023960363011 × 6371000     		du = 202.206476103074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23337609)-sin(-1.23340782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331053901333506-0.331023960363011)×R²
    abs(-0.62039935--0.62049523)×2.99409704948017e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.99409704948017e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.99409704948017e-05×40589641000000     		ar = 40878.2578124265m²