Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26294 / 24910
↖ ↑ ↗
← S 67.933396°
E108.874512°		 ← 458.95 m → S 67.933396°
E108.885498°		 →
↑
458.90 m
↓
↑
458.90 m
↓
S 67.937523°
E108.874512°		 ← 458.87 m →
210 595 m²		 S 67.937523°
E108.885498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802444458007812 y=0.760208129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802444458007812 × 215)
    floor (0.802444458007812 × 32768)
    floor (26294.5)     		tx = 26294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760208129882812 × 215)
    floor (0.760208129882812 × 32768)
    floor (24910.5)     		ty = 24910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26294 / 24910 ti = "15/26294/24910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26294/24910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26294 ÷ 215
    26294 ÷ 32768     		x = 0.80242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24910 ÷ 215
    24910 ÷ 32768     		y = 0.76019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80242919921875 × 2 - 1) × π
    0.6048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90021870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76019287109375 × 2 - 1) × π
    -0.5203857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6348400246424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90021870} λ = 1.90021870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6348400246424))-π/2
    2×atan(0.194983561369252)-π/2
    2×0.192567440961268-π/2
    0.385134881922537-1.57079632675     		φ = -1.18566144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90021870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.874512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18566144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.933396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26294 KachelY 24910 1.90021870 -1.18566144 108.874512 -67.933396
    Oben rechts KachelX + 1 26295 KachelY 24910 1.90041045 -1.18566144 108.885498 -67.933396
    Unten links KachelX 26294 KachelY + 1 24911 1.90021870 -1.18573347 108.874512 -67.937523
    Unten rechts KachelX + 1 26295 KachelY + 1 24911 1.90041045 -1.18573347 108.885498 -67.937523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18566144--1.18573347) × R
    7.20299999998897e-05 × 6371000     		dl = 458.903129999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18566144--1.18573347) × R
    7.20299999998897e-05 × 6371000     		dr = 458.903129999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90021870-1.90041045) × cos(-1.18566144) × R
    0.000191750000000157 × 0.375684146200675 × 6371000     		do = 458.950498601859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90021870-1.90041045) × cos(-1.18573347) × R
    0.000191750000000157 × 0.375617391584543 × 6371000     		du = 458.868948542674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18566144)-sin(-1.18573347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375684146200675-0.375617391584543)×R²
    abs(1.90041045-1.90021870)×6.67546161318144e-05×R²
    0.000191750000000157×6.67546161318144e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.67546161318144e-05×40589641000000     		ar = 210595.108625598m²