Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26292 / 51012
↖ ↑ ↗
← S 70.266872°
W 35.573730°		 ← 206.23 m → S 70.266872°
W 35.568237°		 →
↑
206.23 m
↓
↑
206.23 m
↓
S 70.268727°
W 35.573730°		 ← 206.21 m →
42 528 m²		 S 70.268727°
W 35.568237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401191711425781 y=0.778388977050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401191711425781 × 216)
    floor (0.401191711425781 × 65536)
    floor (26292.5)     		tx = 26292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778388977050781 × 216)
    floor (0.778388977050781 × 65536)
    floor (51012.5)     		ty = 51012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26292 / 51012 ti = "16/26292/51012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26292/51012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26292 ÷ 216
    26292 ÷ 65536     		x = 0.40118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51012 ÷ 216
    51012 ÷ 65536     		y = 0.77838134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1976318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.62087872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.5567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74912159333661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62087872} λ = -0.62087872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74912159333661))-π/2
    2×atan(0.173926654701767)-π/2
    2×0.172204026120536-π/2
    0.344408052241072-1.57079632675     		φ = -1.22638827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62087872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.573730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22638827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.266872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26292 KachelY 51012 -0.62087872 -1.22638827 -35.573730 -70.266872
    Oben rechts KachelX + 1 26293 KachelY 51012 -0.62078285 -1.22638827 -35.568237 -70.266872
    Unten links KachelX 26292 KachelY + 1 51013 -0.62087872 -1.22642064 -35.573730 -70.268727
    Unten rechts KachelX + 1 26293 KachelY + 1 51013 -0.62078285 -1.22642064 -35.568237 -70.268727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22638827--1.22642064) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dl = 206.229270000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22638827--1.22642064) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dr = 206.229270000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62087872--0.62078285) × cos(-1.22638827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337639554809156 × 6371000     		do = 206.226110745672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62087872--0.62078285) × cos(-1.22642064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337609085544951 × 6371000     		du = 206.207500491735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22638827)-sin(-1.22642064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337639554809156-0.337609085544951)×R²
    abs(-0.62078285--0.62087872)×3.04692642050797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04692642050797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04692642050797e-05×40589641000000     		ar = 42527.9412884181m²