Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26291 / 51223
↖ ↑ ↗
← S 70.654511°
W 35.579224°		 ← 202.35 m → S 70.654511°
W 35.573730°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
S 70.656330°
W 35.579224°		 ← 202.33 m →
40 943 m²		 S 70.656330°
W 35.573730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401176452636719 y=0.781608581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401176452636719 × 216)
    floor (0.401176452636719 × 65536)
    floor (26291.5)     		tx = 26291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781608581542969 × 216)
    floor (0.781608581542969 × 65536)
    floor (51223.5)     		ty = 51223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26291 / 51223 ti = "16/26291/51223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26291/51223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26291 ÷ 216
    26291 ÷ 65536     		x = 0.401168823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51223 ÷ 216
    51223 ÷ 65536     		y = 0.781600952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401168823242188 × 2 - 1) × π
    -0.197662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.62097460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781600952148438 × 2 - 1) × π
    -0.563201904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76935096497627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62097460} λ = -0.62097460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76935096497627))-π/2
    2×atan(0.170443576784701)-π/2
    2×0.168821243015814-π/2
    0.337642486031627-1.57079632675     		φ = -1.23315384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62097460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.579224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23315384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.654511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26291 KachelY 51223 -0.62097460 -1.23315384 -35.579224 -70.654511
    Oben rechts KachelX + 1 26292 KachelY 51223 -0.62087872 -1.23315384 -35.573730 -70.654511
    Unten links KachelX 26291 KachelY + 1 51224 -0.62097460 -1.23318560 -35.579224 -70.656330
    Unten rechts KachelX + 1 26292 KachelY + 1 51224 -0.62087872 -1.23318560 -35.573730 -70.656330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23315384--1.23318560) × R
    3.17600000001583e-05 × 6371000     		dl = 202.342960001009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23315384--1.23318560) × R
    3.17600000001583e-05 × 6371000     		dr = 202.342960001009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62097460--0.62087872) × cos(-1.23315384) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.331263610888162 × 6371000     		do = 202.35286698128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62097460--0.62087872) × cos(-1.23318560) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.331233643946428 × 6371000     		du = 202.33456163057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23315384)-sin(-1.23318560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331263610888162-0.331233643946428)×R²
    abs(-0.62087872--0.62097460)×2.9966941734183e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.9966941734183e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.9966941734183e-05×40589641000000     		ar = 40942.8260936744m²