Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26289 / 10836
↖ ↑ ↗
← N 51.917167°
E108.819580°		 ← 753.51 m → N 51.917167°
E108.830566°		 →
↑
753.56 m
↓
↑
753.56 m
↓
N 51.910390°
E108.819580°		 ← 753.62 m →
567 857 m²		 N 51.910390°
E108.830566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802291870117188 y=0.330703735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802291870117188 × 215)
    floor (0.802291870117188 × 32768)
    floor (26289.5)     		tx = 26289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330703735351562 × 215)
    floor (0.330703735351562 × 32768)
    floor (10836.5)     		ty = 10836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26289 / 10836 ti = "15/26289/10836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26289/10836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26289 ÷ 215
    26289 ÷ 32768     		x = 0.802276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10836 ÷ 215
    10836 ÷ 32768     		y = 0.3306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802276611328125 × 2 - 1) × π
    0.60455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89925996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3306884765625 × 2 - 1) × π
    0.338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06381567636829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89925996} λ = 1.89925996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06381567636829))-π/2
    2×atan(2.89740548548709)-π/2
    2×1.23846091975773-π/2
    2.47692183951545-1.57079632675     		φ = 0.90612551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89925996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.819580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90612551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.917167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26289 KachelY 10836 1.89925996 0.90612551 108.819580 51.917167
    Oben rechts KachelX + 1 26290 KachelY 10836 1.89945171 0.90612551 108.830566 51.917167
    Unten links KachelX 26289 KachelY + 1 10837 1.89925996 0.90600723 108.819580 51.910390
    Unten rechts KachelX + 1 26290 KachelY + 1 10837 1.89945171 0.90600723 108.830566 51.910390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90612551-0.90600723) × R
    0.000118279999999915 × 6371000     		dl = 753.561879999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90612551-0.90600723) × R
    0.000118279999999915 × 6371000     		dr = 753.561879999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89925996-1.89945171) × cos(0.90612551) × R
    0.000191749999999935 × 0.616800059510535 × 6371000     		do = 753.50716210015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89925996-1.89945171) × cos(0.90600723) × R
    0.000191749999999935 × 0.616893155733739 × 6371000     		du = 753.620892100442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90612551)-sin(0.90600723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616800059510535-0.616893155733739)×R²
    abs(1.89945171-1.89925996)×9.3096223203748e-05×R²
    0.000191749999999935×9.3096223203748e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.3096223203748e-05×40589641000000     		ar = 567857.125624003m²