Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26288 / 51221
↖ ↑ ↗
← S 70.650871°
W 35.595703°		 ← 202.37 m → S 70.650871°
W 35.590210°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
S 70.652691°
W 35.595703°		 ← 202.35 m →
40 946 m²		 S 70.652691°
W 35.590210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401130676269531 y=0.781578063964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401130676269531 × 216)
    floor (0.401130676269531 × 65536)
    floor (26288.5)     		tx = 26288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781578063964844 × 216)
    floor (0.781578063964844 × 65536)
    floor (51221.5)     		ty = 51221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26288 / 51221 ti = "16/26288/51221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26288/51221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26288 ÷ 216
    26288 ÷ 65536     		x = 0.401123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51221 ÷ 216
    51221 ÷ 65536     		y = 0.781570434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.19775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.62126222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781570434570312 × 2 - 1) × π
    -0.563140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76915921737779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62126222} λ = -0.62126222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76915921737779))-π/2
    2×atan(0.170476262064787)-π/2
    2×0.168853005389806-π/2
    0.337706010779611-1.57079632675     		φ = -1.23309032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62126222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.595703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23309032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.650871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26288 KachelY 51221 -0.62126222 -1.23309032 -35.595703 -70.650871
    Oben rechts KachelX + 1 26289 KachelY 51221 -0.62116635 -1.23309032 -35.590210 -70.650871
    Unten links KachelX 26288 KachelY + 1 51222 -0.62126222 -1.23312208 -35.595703 -70.652691
    Unten rechts KachelX + 1 26289 KachelY + 1 51222 -0.62116635 -1.23312208 -35.590210 -70.652691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23309032--1.23312208) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dl = 202.342959999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23309032--1.23312208) × R
    3.17599999999363e-05 × 6371000     		dr = 202.342959999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62126222--0.62116635) × cos(-1.23309032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331323543769166 × 6371000     		do = 202.368368447262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62126222--0.62116635) × cos(-1.23312208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331293577495752 × 6371000     		du = 202.350065413948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23309032)-sin(-1.23312208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331323543769166-0.331293577495752)×R²
    abs(-0.62116635--0.62126222)×2.99662734141171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.99662734141171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.99662734141171e-05×40589641000000     		ar = 40945.9629402715m²