Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26288 / 24978
↖ ↑ ↗
← S 68.212369°
E108.808594°		 ← 453.41 m → S 68.212369°
E108.819580°		 →
↑
453.42 m
↓
↑
453.42 m
↓
S 68.216447°
E108.808594°		 ← 453.33 m →
205 568 m²		 S 68.216447°
E108.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802261352539062 y=0.762283325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802261352539062 × 215)
    floor (0.802261352539062 × 32768)
    floor (26288.5)     		tx = 26288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762283325195312 × 215)
    floor (0.762283325195312 × 32768)
    floor (24978.5)     		ty = 24978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26288 / 24978 ti = "15/26288/24978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26288/24978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26288 ÷ 215
    26288 ÷ 32768     		x = 0.80224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24978 ÷ 215
    24978 ÷ 32768     		y = 0.76226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80224609375 × 2 - 1) × π
    0.6044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89906822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.5245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64787886133905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89906822} λ = 1.89906822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64787886133905))-π/2
    2×atan(0.192457705450675)-π/2
    2×0.190132947066859-π/2
    0.380265894133717-1.57079632675     		φ = -1.19053043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89906822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19053043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.212369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26288 KachelY 24978 1.89906822 -1.19053043 108.808594 -68.212369
    Oben rechts KachelX + 1 26289 KachelY 24978 1.89925996 -1.19053043 108.819580 -68.212369
    Unten links KachelX 26288 KachelY + 1 24979 1.89906822 -1.19060160 108.808594 -68.216447
    Unten rechts KachelX + 1 26289 KachelY + 1 24979 1.89925996 -1.19060160 108.819580 -68.216447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19053043--1.19060160) × R
    7.11700000000093e-05 × 6371000     		dl = 453.424070000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19053043--1.19060160) × R
    7.11700000000093e-05 × 6371000     		dr = 453.424070000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89906822-1.89925996) × cos(-1.19053043) × R
    0.000191739999999996 × 0.371167385247963 × 6371000     		do = 453.408999064659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89906822-1.89925996) × cos(-1.19060160) × R
    0.000191739999999996 × 0.371101298267481 × 6371000     		du = 453.328268825789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19053043)-sin(-1.19060160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371167385247963-0.371101298267481)×R²
    abs(1.89925996-1.89906822)×6.60869804819941e-05×R²
    0.000191739999999996×6.60869804819941e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.60869804819941e-05×40589641000000     		ar = 205568.251301037m²