Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26286 / 51220
↖ ↑ ↗
← S 70.649051°
W 35.606690°		 ← 202.41 m → S 70.649051°
W 35.601196°		 →
↑
202.41 m
↓
↑
202.41 m
↓
S 70.650871°
W 35.606690°		 ← 202.39 m →
40 967 m²		 S 70.650871°
W 35.601196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401100158691406 y=0.781562805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401100158691406 × 216)
    floor (0.401100158691406 × 65536)
    floor (26286.5)     		tx = 26286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781562805175781 × 216)
    floor (0.781562805175781 × 65536)
    floor (51220.5)     		ty = 51220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26286 / 51220 ti = "16/26286/51220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26286/51220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26286 ÷ 216
    26286 ÷ 65536     		x = 0.401092529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51220 ÷ 216
    51220 ÷ 65536     		y = 0.78155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.19781494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.62145397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78155517578125 × 2 - 1) × π
    -0.5631103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76906334357855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62145397} λ = -0.62145397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76906334357855))-π/2
    2×atan(0.170492607055227)-π/2
    2×0.168868888731824-π/2
    0.337737777463648-1.57079632675     		φ = -1.23305855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62145397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.606690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23305855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.649051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26286 KachelY 51220 -0.62145397 -1.23305855 -35.606690 -70.649051
    Oben rechts KachelX + 1 26287 KachelY 51220 -0.62135809 -1.23305855 -35.601196 -70.649051
    Unten links KachelX 26286 KachelY + 1 51221 -0.62145397 -1.23309032 -35.606690 -70.650871
    Unten rechts KachelX + 1 26287 KachelY + 1 51221 -0.62135809 -1.23309032 -35.601196 -70.650871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23305855--1.23309032) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dl = 202.406670000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23305855--1.23309032) × R
    3.17700000000976e-05 × 6371000     		dr = 202.406670000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62145397--0.62135809) × cos(-1.23305855) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.331353519143441 × 6371000     		do = 202.407787572081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62145397--0.62135809) × cos(-1.23309032) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.331323543769166 × 6371000     		du = 202.389477070341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23305855)-sin(-1.23309032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331353519143441-0.331323543769166)×R²
    abs(-0.62135809--0.62145397)×2.99753742757369e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.99753742757369e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.99753742757369e-05×40589641000000     		ar = 40966.8331840271m²