Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26283 / 24370
↖ ↑ ↗
← S 65.594800°
E108.753662°		 ← 504.74 m → S 65.594800°
E108.764648°		 →
↑
504.71 m
↓
↑
504.71 m
↓
S 65.599339°
E108.753662°		 ← 504.65 m →
254 725 m²		 S 65.599339°
E108.764648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802108764648438 y=0.743728637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802108764648438 × 215)
    floor (0.802108764648438 × 32768)
    floor (26283.5)     		tx = 26283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743728637695312 × 215)
    floor (0.743728637695312 × 32768)
    floor (24370.5)     		ty = 24370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26283 / 24370 ti = "15/26283/24370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26283/24370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26283 ÷ 215
    26283 ÷ 32768     		x = 0.802093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24370 ÷ 215
    24370 ÷ 32768     		y = 0.74371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802093505859375 × 2 - 1) × π
    0.60418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89810948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4874267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53129632146307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89810948} λ = 1.89810948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53129632146307))-π/2
    2×atan(0.216255149342962)-π/2
    2×0.212975543593255-π/2
    0.425951087186511-1.57079632675     		φ = -1.14484524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89810948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14484524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.594800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26283 KachelY 24370 1.89810948 -1.14484524 108.753662 -65.594800
    Oben rechts KachelX + 1 26284 KachelY 24370 1.89830122 -1.14484524 108.764648 -65.594800
    Unten links KachelX 26283 KachelY + 1 24371 1.89810948 -1.14492446 108.753662 -65.599339
    Unten rechts KachelX + 1 26284 KachelY + 1 24371 1.89830122 -1.14492446 108.764648 -65.599339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14484524--1.14492446) × R
    7.92199999999355e-05 × 6371000     		dl = 504.710619999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14484524--1.14492446) × R
    7.92199999999355e-05 × 6371000     		dr = 504.710619999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89810948-1.89830122) × cos(-1.14484524) × R
    0.000191739999999996 × 0.413187072035661 × 6371000     		do = 504.73922064297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89810948-1.89830122) × cos(-1.14492446) × R
    0.000191739999999996 × 0.413114929349757 × 6371000     		du = 504.65109290248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14484524)-sin(-1.14492446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413187072035661-0.413114929349757)×R²
    abs(1.89830122-1.89810948)×7.21426859039975e-05×R²
    0.000191739999999996×7.21426859039975e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.21426859039975e-05×40589641000000     		ar = 254725.005618761m²