Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26280 / 51015
↖ ↑ ↗
← S 70.272435°
W 35.639648°		 ← 206.17 m → S 70.272435°
W 35.634156°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
S 70.274289°
W 35.639648°		 ← 206.15 m →
42 503 m²		 S 70.274289°
W 35.634156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.401008605957031 y=0.778434753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.401008605957031 × 216)
    floor (0.401008605957031 × 65536)
    floor (26280.5)     		tx = 26280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778434753417969 × 216)
    floor (0.778434753417969 × 65536)
    floor (51015.5)     		ty = 51015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26280 / 51015 ti = "16/26280/51015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26280/51015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26280 ÷ 216
    26280 ÷ 65536     		x = 0.4010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51015 ÷ 216
    51015 ÷ 65536     		y = 0.778427124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.197998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62202921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778427124023438 × 2 - 1) × π
    -0.556854248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74940921473433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62202921} λ = -0.62202921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74940921473433))-π/2
    2×atan(0.173876636867685)-π/2
    2×0.172155476513126-π/2
    0.344310953026253-1.57079632675     		φ = -1.22648537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62202921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.639648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22648537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.272435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26280 KachelY 51015 -0.62202921 -1.22648537 -35.639648 -70.272435
    Oben rechts KachelX + 1 26281 KachelY 51015 -0.62193334 -1.22648537 -35.634156 -70.272435
    Unten links KachelX 26280 KachelY + 1 51016 -0.62202921 -1.22651773 -35.639648 -70.274289
    Unten rechts KachelX + 1 26281 KachelY + 1 51016 -0.62193334 -1.22651773 -35.634156 -70.274289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22648537--1.22651773) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dl = 206.165560000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22648537--1.22651773) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dr = 206.165560000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62202921--0.62193334) × cos(-1.22648537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337548155368397 × 6371000     		do = 206.170285085072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62202921--0.62193334) × cos(-1.22651773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337517694456332 × 6371000     		du = 206.15167993252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22648537)-sin(-1.22651773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337548155368397-0.337517694456332)×R²
    abs(-0.62193334--0.62202921)×3.04609120657662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04609120657662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04609120657662e-05×40589641000000     		ar = 42503.2944127147m²