Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2628 / 659
↖ ↑ ↗
← N 76.455203°
E 50.976563°		 ← 2 288.89 m → N 76.455203°
E 51.064453°		 →
↑
2 290.57 m
↓
↑
2 290.57 m
↓
N 76.434604°
E 50.976563°		 ← 2 292.30 m →
5 246 759 m²		 N 76.434604°
E 51.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6417236328125 y=0.1610107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6417236328125 × 212)
    floor (0.6417236328125 × 4096)
    floor (2628.5)     		tx = 2628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1610107421875 × 212)
    floor (0.1610107421875 × 4096)
    floor (659.5)     		ty = 659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2628 / 659 ti = "12/2628/659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2628/659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2628 ÷ 212
    2628 ÷ 4096     		x = 0.6416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 659 ÷ 212
    659 ÷ 4096     		y = 0.160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160888671875 × 2 - 1) × π
    0.67822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13069931431226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88970886} λ = 0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13069931431226))-π/2
    2×atan(8.42075350632218)-π/2
    2×1.45259567829041-π/2
    2.90519135658082-1.57079632675     		φ = 1.33439503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33439503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.455203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2628 KachelY 659 0.88970886 1.33439503 50.976563 76.455203
    Oben rechts KachelX + 1 2629 KachelY 659 0.89124284 1.33439503 51.064453 76.455203
    Unten links KachelX 2628 KachelY + 1 660 0.88970886 1.33403550 50.976563 76.434604
    Unten rechts KachelX + 1 2629 KachelY + 1 660 0.89124284 1.33403550 51.064453 76.434604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33439503-1.33403550) × R
    0.000359530000000108 × 6371000     		dl = 2290.56563000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33439503-1.33403550) × R
    0.000359530000000108 × 6371000     		dr = 2290.56563000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88970886-0.89124284) × cos(1.33439503) × R
    0.00153397999999993 × 0.234205537686903 × 6371000     		do = 2288.88757677569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88970886-0.89124284) × cos(1.33403550) × R
    0.00153397999999993 × 0.23455505297213 × 6371000     		du = 2292.30338496772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33439503)-sin(1.33403550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234205537686903-0.23455505297213)×R²
    abs(0.89124284-0.88970886)×0.000349515285226615×R²
    0.00153397999999993×0.000349515285226615×6371000²
    0.00153397999999993×0.000349515285226615×40589641000000     		ar = 5246759.33724002m²