Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26279 / 24982
↖ ↑ ↗
← S 68.228674°
E108.709717°		 ← 453.09 m → S 68.228674°
E108.720703°		 →
↑
453.11 m
↓
↑
453.11 m
↓
S 68.232749°
E108.709717°		 ← 453.01 m →
205 278 m²		 S 68.232749°
E108.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801986694335938 y=0.762405395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801986694335938 × 215)
    floor (0.801986694335938 × 32768)
    floor (26279.5)     		tx = 26279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762405395507812 × 215)
    floor (0.762405395507812 × 32768)
    floor (24982.5)     		ty = 24982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26279 / 24982 ti = "15/26279/24982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26279/24982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26279 ÷ 215
    26279 ÷ 32768     		x = 0.801971435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24982 ÷ 215
    24982 ÷ 32768     		y = 0.76239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801971435546875 × 2 - 1) × π
    0.60394287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89734249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.5247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64864585173297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89734249} λ = 1.89734249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64864585173297))-π/2
    2×atan(0.192310148833845)-π/2
    2×0.189990656835867-π/2
    0.379981313671734-1.57079632675     		φ = -1.19081501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89734249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.709717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19081501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.228674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26279 KachelY 24982 1.89734249 -1.19081501 108.709717 -68.228674
    Oben rechts KachelX + 1 26280 KachelY 24982 1.89753423 -1.19081501 108.720703 -68.228674
    Unten links KachelX 26279 KachelY + 1 24983 1.89734249 -1.19088613 108.709717 -68.232749
    Unten rechts KachelX + 1 26280 KachelY + 1 24983 1.89753423 -1.19088613 108.720703 -68.232749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19081501--1.19088613) × R
    7.11200000000911e-05 × 6371000     		dl = 453.10552000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19081501--1.19088613) × R
    7.11200000000911e-05 × 6371000     		dr = 453.10552000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89734249-1.89753423) × cos(-1.19081501) × R
    0.000191739999999996 × 0.370903118916388 × 6371000     		do = 453.086177777961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89734249-1.89753423) × cos(-1.19088613) × R
    0.000191739999999996 × 0.370837070856688 × 6371000     		du = 453.005495083767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19081501)-sin(-1.19088613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370903118916388-0.370837070856688)×R²
    abs(1.89753423-1.89734249)×6.60480596995638e-05×R²
    0.000191739999999996×6.60480596995638e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.60480596995638e-05×40589641000000     		ar = 205277.569386175m²