Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26278 / 24926
↖ ↑ ↗
← S 67.999341°
E108.698731°		 ← 457.65 m → S 67.999341°
E108.709717°		 →
↑
457.63 m
↓
↑
457.63 m
↓
S 68.003457°
E108.698731°		 ← 457.57 m →
209 414 m²		 S 68.003457°
E108.709717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801956176757812 y=0.760696411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801956176757812 × 215)
    floor (0.801956176757812 × 32768)
    floor (26278.5)     		tx = 26278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760696411132812 × 215)
    floor (0.760696411132812 × 32768)
    floor (24926.5)     		ty = 24926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26278 / 24926 ti = "15/26278/24926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26278/24926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26278 ÷ 215
    26278 ÷ 32768     		x = 0.80194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24926 ÷ 215
    24926 ÷ 32768     		y = 0.76068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80194091796875 × 2 - 1) × π
    0.6038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89715074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.5213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63790798621808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89715074} λ = 1.89715074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63790798621808))-π/2
    2×atan(0.194386275987871)-π/2
    2×0.191991967321589-π/2
    0.383983934643177-1.57079632675     		φ = -1.18681239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89715074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.698731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18681239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.999341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26278 KachelY 24926 1.89715074 -1.18681239 108.698731 -67.999341
    Oben rechts KachelX + 1 26279 KachelY 24926 1.89734249 -1.18681239 108.709717 -67.999341
    Unten links KachelX 26278 KachelY + 1 24927 1.89715074 -1.18688422 108.698731 -68.003457
    Unten rechts KachelX + 1 26279 KachelY + 1 24927 1.89734249 -1.18688422 108.709717 -68.003457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18681239--1.18688422) × R
    7.1829999999995e-05 × 6371000     		dl = 457.628929999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18681239--1.18688422) × R
    7.1829999999995e-05 × 6371000     		dr = 457.628929999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89715074-1.89734249) × cos(-1.18681239) × R
    0.000191749999999935 × 0.374617257262857 × 6371000     		do = 457.647145199499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89715074-1.89734249) × cos(-1.18688422) × R
    0.000191749999999935 × 0.374550656989696 × 6371000     		du = 457.565783691744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18681239)-sin(-1.18688422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374617257262857-0.374550656989696)×R²
    abs(1.89734249-1.89715074)×6.66002731614657e-05×R²
    0.000191749999999935×6.66002731614657e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.66002731614657e-05×40589641000000     		ar = 209413.956775351m²