Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26273 / 5537
↖ ↑ ↗
← N 81.594896°
W 35.678101°		 ← 89.29 m → N 81.594896°
W 35.672607°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
N 81.594093°
W 35.678101°		 ← 89.30 m →
7 976 m²		 N 81.594093°
W 35.672607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.400901794433594 y=0.0844955444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.400901794433594 × 216)
    floor (0.400901794433594 × 65536)
    floor (26273.5)     		tx = 26273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0844955444335938 × 216)
    floor (0.0844955444335938 × 65536)
    floor (5537.5)     		ty = 5537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26273 / 5537 ti = "16/26273/5537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26273/5537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26273 ÷ 216
    26273 ÷ 65536     		x = 0.400894165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5537 ÷ 216
    5537 ÷ 65536     		y = 0.0844879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.400894165039062 × 2 - 1) × π
    -0.198211669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.62270033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0844879150390625 × 2 - 1) × π
    0.831024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6107394271075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.62270033} λ = -0.62270033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6107394271075))-π/2
    2×atan(13.6091100772407)-π/2
    2×1.4974479577207-π/2
    2.99489591544141-1.57079632675     		φ = 1.42409959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.62270033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.678101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42409959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.594896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26273 KachelY 5537 -0.62270033 1.42409959 -35.678101 81.594896
    Oben rechts KachelX + 1 26274 KachelY 5537 -0.62260445 1.42409959 -35.672607 81.594896
    Unten links KachelX 26273 KachelY + 1 5538 -0.62270033 1.42408557 -35.678101 81.594093
    Unten rechts KachelX + 1 26274 KachelY + 1 5538 -0.62260445 1.42408557 -35.672607 81.594093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42409959-1.42408557) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42409959-1.42408557) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.62270033--0.62260445) × cos(1.42409959) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.146171151993488 × 6371000     		do = 89.2888645285721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.62270033--0.62260445) × cos(1.42408557) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.146185021394733 × 6371000     		du = 89.297336672849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42409959)-sin(1.42408557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146171151993488-0.146185021394733)×R²
    abs(-0.62260445--0.62270033)×1.38694012444263e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.38694012444263e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.38694012444263e-05×40589641000000     		ar = 7975.78654207444m²