Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26272 / 13472
↖ ↑ ↗
← N 30.448674°
E108.632812°		 ← 1 053.16 m → N 30.448674°
E108.643799°		 →
↑
1 053.19 m
↓
↑
1 053.19 m
↓
N 30.439202°
E108.632812°		 ← 1 053.26 m →
1 109 226 m²		 N 30.439202°
E108.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801773071289062 y=0.411148071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801773071289062 × 215)
    floor (0.801773071289062 × 32768)
    floor (26272.5)     		tx = 26272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411148071289062 × 215)
    floor (0.411148071289062 × 32768)
    floor (13472.5)     		ty = 13472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26272 / 13472 ti = "15/26272/13472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26272/13472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26272 ÷ 215
    26272 ÷ 32768     		x = 0.8017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13472 ÷ 215
    13472 ÷ 32768     		y = 0.4111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8017578125 × 2 - 1) × π
    0.603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89600025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4111328125 × 2 - 1) × π
    0.177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.558369006774414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89600025} λ = 1.89600025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.558369006774414))-π/2
    2×atan(1.74781949255849)-π/2
    2×1.05111296767502-π/2
    2.10222593535004-1.57079632675     		φ = 0.53142961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89600025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.632812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53142961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.448674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26272 KachelY 13472 1.89600025 0.53142961 108.632812 30.448674
    Oben rechts KachelX + 1 26273 KachelY 13472 1.89619200 0.53142961 108.643799 30.448674
    Unten links KachelX 26272 KachelY + 1 13473 1.89600025 0.53126430 108.632812 30.439202
    Unten rechts KachelX + 1 26273 KachelY + 1 13473 1.89619200 0.53126430 108.643799 30.439202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53142961-0.53126430) × R
    0.000165309999999974 × 6371000     		dl = 1053.19000999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53142961-0.53126430) × R
    0.000165309999999974 × 6371000     		dr = 1053.19000999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89600025-1.89619200) × cos(0.53142961) × R
    0.000191750000000157 × 0.862083473545203 × 6371000     		do = 1053.15500806002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89600025-1.89619200) × cos(0.53126430) × R
    0.000191750000000157 × 0.862167235302924 × 6371000     		du = 1053.2573347109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53142961)-sin(0.53126430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862083473545203-0.862167235302924)×R²
    abs(1.89619200-1.89600025)×8.3761757720735e-05×R²
    0.000191750000000157×8.3761757720735e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.3761757720735e-05×40589641000000     		ar = 1109226.22069957m²