Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2626 / 1537
↖ ↑ ↗
← N 81.089811°
W122.299805°		 ← 378.43 m → N 81.089811°
W122.277832°		 →
↑
378.50 m
↓
↑
378.50 m
↓
N 81.086408°
W122.299805°		 ← 378.57 m →
143 263 m²		 N 81.086408°
W122.277832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160308837890625 y=0.093841552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160308837890625 × 214)
    floor (0.160308837890625 × 16384)
    floor (2626.5)     		tx = 2626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.093841552734375 × 214)
    floor (0.093841552734375 × 16384)
    floor (1537.5)     		ty = 1537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2626 / 1537 ti = "14/2626/1537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2626/1537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2626 ÷ 214
    2626 ÷ 16384     		x = 0.1602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1537 ÷ 214
    1537 ÷ 16384     		y = 0.09381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1602783203125 × 2 - 1) × π
    -0.679443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.13453427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09381103515625 × 2 - 1) × π
    0.8123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55216053577179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13453427} λ = -2.13453427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55216053577179))-π/2
    2×atan(12.8348039012919)-π/2
    2×1.49304026136105-π/2
    2.98608052272209-1.57079632675     		φ = 1.41528420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13453427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41528420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.089811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2626 KachelY 1537 -2.13453427 1.41528420 -122.299805 81.089811
    Oben rechts KachelX + 1 2627 KachelY 1537 -2.13415077 1.41528420 -122.277832 81.089811
    Unten links KachelX 2626 KachelY + 1 1538 -2.13453427 1.41522479 -122.299805 81.086408
    Unten rechts KachelX + 1 2627 KachelY + 1 1538 -2.13415077 1.41522479 -122.277832 81.086408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41528420-1.41522479) × R
    5.9410000000204e-05 × 6371000     		dl = 378.5011100013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41528420-1.41522479) × R
    5.9410000000204e-05 × 6371000     		dr = 378.5011100013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13453427--2.13415077) × cos(1.41528420) × R
    0.00038349999999987 × 0.15488606620267 × 6371000     		do = 378.429795502433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13453427--2.13415077) × cos(1.41522479) × R
    0.00038349999999987 × 0.154944758989559 × 6371000     		du = 378.573198326742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41528420)-sin(1.41522479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15488606620267-0.154944758989559)×R²
    abs(-2.13415077--2.13453427)×5.86927868883869e-05×R²
    0.00038349999999987×5.86927868883869e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.86927868883869e-05×40589641000000     		ar = 143263.236762771m²