Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 26249 / 24970
↖ ↑ ↗
← S 68.179724°
E108.380127°		 ← 454.08 m → S 68.179724°
E108.391113°		 →
↑
454.06 m
↓
↑
454.06 m
↓
S 68.183807°
E108.380127°		 ← 454 m →
206 161 m²		 S 68.183807°
E108.391113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.801071166992188 y=0.762039184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.801071166992188 × 215)
    floor (0.801071166992188 × 32768)
    floor (26249.5)     		tx = 26249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762039184570312 × 215)
    floor (0.762039184570312 × 32768)
    floor (24970.5)     		ty = 24970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26249 / 24970 ti = "15/26249/24970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26249/24970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26249 ÷ 215
    26249 ÷ 32768     		x = 0.801055908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24970 ÷ 215
    24970 ÷ 32768     		y = 0.76202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801055908203125 × 2 - 1) × π
    0.60211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89159006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.5240478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64634488055121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89159006} λ = 1.89159006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64634488055121))-π/2
    2×atan(0.192753158424966)-π/2
    2×0.190417831715605-π/2
    0.380835663431209-1.57079632675     		φ = -1.18996066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89159006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.380127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18996066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.179724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26249 KachelY 24970 1.89159006 -1.18996066 108.380127 -68.179724
    Oben rechts KachelX + 1 26250 KachelY 24970 1.89178181 -1.18996066 108.391113 -68.179724
    Unten links KachelX 26249 KachelY + 1 24971 1.89159006 -1.19003193 108.380127 -68.183807
    Unten rechts KachelX + 1 26250 KachelY + 1 24971 1.89178181 -1.19003193 108.391113 -68.183807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18996066--1.19003193) × R
    7.12700000000677e-05 × 6371000     		dl = 454.061170000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18996066--1.19003193) × R
    7.12700000000677e-05 × 6371000     		dr = 454.061170000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89159006-1.89178181) × cos(-1.18996066) × R
    0.000191749999999935 × 0.371696394008098 × 6371000     		do = 454.078904003604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89159006-1.89178181) × cos(-1.19003193) × R
    0.000191749999999935 × 0.371630229249955 × 6371000     		du = 453.99807453809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18996066)-sin(-1.19003193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371696394008098-0.371630229249955)×R²
    abs(1.89178181-1.89159006)×6.6164758142695e-05×R²
    0.000191749999999935×6.6164758142695e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.6164758142695e-05×40589641000000     		ar = 206161.247750767m²