Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26246 / 24974
↖ ↑ ↗
← S 68.196052°
E108.347168°		 ← 453.73 m → S 68.196052°
E108.358154°		 →
↑
453.68 m
↓
↑
453.68 m
↓
S 68.200132°
E108.347168°		 ← 453.65 m →
205 830 m²		 S 68.200132°
E108.358154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800979614257812 y=0.762161254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800979614257812 × 215)
    floor (0.800979614257812 × 32768)
    floor (26246.5)     		tx = 26246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762161254882812 × 215)
    floor (0.762161254882812 × 32768)
    floor (24974.5)     		ty = 24974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26246 / 24974 ti = "15/26246/24974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26246/24974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26246 ÷ 215
    26246 ÷ 32768     		x = 0.80096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24974 ÷ 215
    24974 ÷ 32768     		y = 0.76214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80096435546875 × 2 - 1) × π
    0.6019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89101482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76214599609375 × 2 - 1) × π
    -0.5242919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64711187094513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89101482} λ = 1.89101482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64711187094513))-π/2
    2×atan(0.192605375285425)-π/2
    2×0.190275338673215-π/2
    0.38055067734643-1.57079632675     		φ = -1.19024565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89101482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19024565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.196052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26246 KachelY 24974 1.89101482 -1.19024565 108.347168 -68.196052
    Oben rechts KachelX + 1 26247 KachelY 24974 1.89120656 -1.19024565 108.358154 -68.196052
    Unten links KachelX 26246 KachelY + 1 24975 1.89101482 -1.19031686 108.347168 -68.200132
    Unten rechts KachelX + 1 26247 KachelY + 1 24975 1.89120656 -1.19031686 108.358154 -68.200132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19024565--1.19031686) × R
    7.12099999999882e-05 × 6371000     		dl = 453.678909999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19024565--1.19031686) × R
    7.12099999999882e-05 × 6371000     		dr = 453.678909999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89101482-1.89120656) × cos(-1.19024565) × R
    0.000191739999999996 × 0.371431807212315 × 6371000     		do = 453.732010468549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89101482-1.89120656) × cos(-1.19031686) × R
    0.000191739999999996 × 0.371365690617119 × 6371000     		du = 453.65124405307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19024565)-sin(-1.19031686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371431807212315-0.371365690617119)×R²
    abs(1.89120656-1.89101482)×6.61165951955645e-05×R²
    0.000191739999999996×6.61165951955645e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.61165951955645e-05×40589641000000     		ar = 205830.323018894m²