Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26246 / 24965
↖ ↑ ↗
← S 68.159297°
E108.347168°		 ← 454.46 m → S 68.159297°
E108.358154°		 →
↑
454.38 m
↓
↑
454.38 m
↓
S 68.163383°
E108.347168°		 ← 454.38 m →
206 479 m²		 S 68.163383°
E108.358154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800979614257812 y=0.761886596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800979614257812 × 215)
    floor (0.800979614257812 × 32768)
    floor (26246.5)     		tx = 26246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761886596679688 × 215)
    floor (0.761886596679688 × 32768)
    floor (24965.5)     		ty = 24965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26246 / 24965 ti = "15/26246/24965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26246/24965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26246 ÷ 215
    26246 ÷ 32768     		x = 0.80096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24965 ÷ 215
    24965 ÷ 32768     		y = 0.761871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80096435546875 × 2 - 1) × π
    0.6019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89101482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761871337890625 × 2 - 1) × π
    -0.52374267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64538614255881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89101482} λ = 1.89101482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64538614255881))-π/2
    2×atan(0.192938046816703)-π/2
    2×0.190596090755456-π/2
    0.381192181510912-1.57079632675     		φ = -1.18960415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89101482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18960415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.159297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26246 KachelY 24965 1.89101482 -1.18960415 108.347168 -68.159297
    Oben rechts KachelX + 1 26247 KachelY 24965 1.89120656 -1.18960415 108.358154 -68.159297
    Unten links KachelX 26246 KachelY + 1 24966 1.89101482 -1.18967547 108.347168 -68.163383
    Unten rechts KachelX + 1 26247 KachelY + 1 24966 1.89120656 -1.18967547 108.358154 -68.163383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18960415--1.18967547) × R
    7.13199999999858e-05 × 6371000     		dl = 454.37971999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18960415--1.18967547) × R
    7.13199999999858e-05 × 6371000     		dr = 454.37971999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89101482-1.89120656) × cos(-1.18960415) × R
    0.000191739999999996 × 0.372027337987586 × 6371000     		do = 454.459496296938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89101482-1.89120656) × cos(-1.18967547) × R
    0.000191739999999996 × 0.371961136264629 × 6371000     		du = 454.378625891468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18960415)-sin(-1.18967547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372027337987586-0.371961136264629)×R²
    abs(1.89120656-1.89101482)×6.62017229575151e-05×R²
    0.000191739999999996×6.62017229575151e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.62017229575151e-05×40589641000000     		ar = 206478.805829867m²