Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26246 / 24438
↖ ↑ ↗
← S 65.901653°
E108.347168°		 ← 498.77 m → S 65.901653°
E108.358154°		 →
↑
498.79 m
↓
↑
498.79 m
↓
S 65.906139°
E108.347168°		 ← 498.69 m →
248 760 m²		 S 65.906139°
E108.358154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800979614257812 y=0.745803833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800979614257812 × 215)
    floor (0.800979614257812 × 32768)
    floor (26246.5)     		tx = 26246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745803833007812 × 215)
    floor (0.745803833007812 × 32768)
    floor (24438.5)     		ty = 24438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26246 / 24438 ti = "15/26246/24438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26246/24438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26246 ÷ 215
    26246 ÷ 32768     		x = 0.80096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24438 ÷ 215
    24438 ÷ 32768     		y = 0.74578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80096435546875 × 2 - 1) × π
    0.6019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89101482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.4915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54433515815973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89101482} λ = 1.89101482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54433515815973))-π/2
    2×atan(0.213453737033869)-π/2
    2×0.210297746358434-π/2
    0.420595492716868-1.57079632675     		φ = -1.15020083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89101482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.347168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15020083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.901653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26246 KachelY 24438 1.89101482 -1.15020083 108.347168 -65.901653
    Oben rechts KachelX + 1 26247 KachelY 24438 1.89120656 -1.15020083 108.358154 -65.901653
    Unten links KachelX 26246 KachelY + 1 24439 1.89101482 -1.15027912 108.347168 -65.906139
    Unten rechts KachelX + 1 26247 KachelY + 1 24439 1.89120656 -1.15027912 108.358154 -65.906139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15020083--1.15027912) × R
    7.82900000000364e-05 × 6371000     		dl = 498.785590000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15020083--1.15027912) × R
    7.82900000000364e-05 × 6371000     		dr = 498.785590000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89101482-1.89120656) × cos(-1.15020083) × R
    0.000191739999999996 × 0.408304122265569 × 6371000     		do = 498.774328640777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89101482-1.89120656) × cos(-1.15027912) × R
    0.000191739999999996 × 0.408232654304245 × 6371000     		du = 498.687025127331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15020083)-sin(-1.15027912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408304122265569-0.408232654304245)×R²
    abs(1.89120656-1.89101482)×7.14679613231795e-05×R²
    0.000191739999999996×7.14679613231795e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.14679613231795e-05×40589641000000     		ar = 248759.675047967m²